Aus einer Probeklausur zur darstellenden Matrix

Question

Huhu,

ich benötige bei der folgenden Aufgabe mit der Musterlösung eine Erklärung.

Aufgabe:

Wir betrachten die lineare Abbildung

$$ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^4,\\\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix} x\\0\\y\\0 \end{pmatrix}.$$

$$Sei\,\mathcal{A}\,=\,((1,2)^T,(3,4)^T)\,und\,\mathcal{B}\,=\,((1,0,1,0)^T,(0,1,0,1)^T,(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T). Dann\:ist\:\mathcal{A}\:eine\:Basis\:von\:\mathbb{R}^2\:und\:\mathcal{B}\:eine\:Basis\:von\:\mathbb{R}^4.\\(a)\:Bestimmen\:Sie\:A\,=\,M^\mathcal{A}_\mathcal{B}(f)\:und\:geben\:Sie\:rang(A)\:an.\\(b)\:Was\:ist\:dim(Bild(f))?$$

Musterlösung:

$$(a)\:Die\:Koordinatenmatrix\:ist\:A\,=\,\begin{pmatrix} 2&4\\0&0\\-1&-1\\0&0 \end{pmatrix}\:und\:rang(A)\,=\,2.\\(b)\:Wir \:wissen,\:dass\:dim(Bild(f))\,rang(A)\,=\,2.$$

Ich weiß leider nicht wie ich zu dieser Musterlösung komme. Kann mir hier jemand mit Erklärungen helfen?

Beste Grüße und vielen Dank
Cellrok

Answer 1

Du nimmst die Basisvektoren der Basis A und bildest diese mit der Abbildung f ab.

$$f( \begin{pmatrix}1\\2  \end{pmatrix})=( \begin{pmatrix}1\\0\\2\\0  \end{pmatrix}) $$$$f( \begin{pmatrix}3\\4  \end{pmatrix})=( \begin{pmatrix}3\\0\\4\\0  \end{pmatrix}) $$

Das Ergebnis stellst Du durch die Matrix B dar.

$$ \begin{pmatrix}1\\0\\2\\0  \end{pmatrix}= \lambda_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0  \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1  \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0  \end{pmatrix}+\lambda_4\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0  \end{pmatrix} $$

Das gleiche machst Du mit dem zweiten Bildvektor. Die Koeffizienten bilden dann die Spalten Deiner Matrix

Comments

 

und wie komme ich auch die Koeffizienten? Muss ich dafür ein LGS aufstellen und dieses lösen?

Und woran kann ich den Rang erkennen?

und danke!

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Die Koeffizenten bekommst Du über ein Gleichungssystem. In diesem Fall lässt sich das einfach lösen.

Der Rang ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen- oder Spaltenvektoren der neuen Matrix.