g(e1) und g(e2) mit Hilfe der darstellenden Matrix bestimmen

Question

Sei g: C²−→C² die C-lineare Abbildung, die bezüglich der Basis B mit Vektoren v1:= (1,i) und v2:= (0,i) durch die darstellende Matrix ( 1 i
             i i)

gegeben ist.
Bestimmen Sie g(e₁) und g(e₂), wobei e1 und e2 die Einheitsvektoren in C² sind.

Ich muss jetzt ja erstmal die Funktion g bestimmen. Doch mit welche Basen benutze ich hier? Ich habe doch nur die Basis B und was ist dann meine zweite Basis? Wieder die Basis B?

Also ist

g(1,i)=1*(1,i)+i*(0,i)

g(0,1)=i*(1,i)+i*(0,i )

oder wie macht man das?

Answer 1

Hi,

das sieht schon mal gut aus.

Es gilt:

\(g(v_1)=1 \cdot (1,i)^T+i \cdot (0,i)^T=(1,i-1)^T\), d.h. \(g((1,i)^T)=(1,i-1)^T\), und \(g((0,i)^T)=(i,-2)^T\)

Nun weißt du, dass deine Abbildung \(\mathbb{C}\)-linear ist, d.h.:

\(g(x)+g(y)=g(x+y)\) und \(\lambda \cdot g(x)= g(\lambda \cdot x)\) gelten für \(x,y \in  \mathbb{C}\) und \(\lambda \in \mathbb{C}\).

Somit folgt: \(g((0,1)^T)=\frac{1}{i} \cdot g((0,i)^T)=\frac{1}{i} \cdot (i,-2)^T= (1, -\frac{2}{i})^T\)

Was ist also \(g((1,0)^T)\)?

Comments

g((1,0)) ist dann ((1-i), (1+i)) oder?

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Das ist korrekt :)

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Super danke für deine Hilfe du hast mir sehr weitergeholfen

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Bitteschön, das freut mich :)

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Jetzt soll ich noch prüfen, ob g bijektiv ist. Dafür muss ich doch jetzt die Basis von g bestimmen, die natürlich linear unabhängig ist oder?

Und wenn ja was ist meine Basis?

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Eine Basis muss nach Definition linear unabhängig sein, da sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, ja.
Zunächst ist unsere Abbildung linear, weswegen

\(f \ \text{injektiv} \Leftrightarrow f \ \text{surjektiv} \Leftrightarrow f \ \text{bijektiv}\)

gilt.

Es reicht also zu überprüfen, ob die Funktion injektiv ist.

Es gilt:

\(g(e_1)=(1-i) \cdot (1,0)^T+(1+i) \cdot (0,1)^T\)

\(g(e_2)=1 \cdot (1,0)^T+ 2i \cdot (0,1)^T\)

(Ich habe genutzt dass \(\frac{1}{i}=-i\)) ist.)
Somit erhalten wir: \(M_E^E(g)= \begin{pmatrix} 1-i & 1 \\ 1+i & 2i\end{pmatrix}\)
Mit \(A=M_E^E(g)\) lautet die Abbildung \(g\) also: \(g: \ \mathbb{C} \to \mathbb{C}, x \mapsto Ax\)
Nun ist \(g\) injektiv, wenn \(A\) invertierbar ist. Ist \(A\) invertierbar?

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Ja, die Matrix A ist invertierbar, weil die Determinante ist i+1 ≠0. 

Dann habe ich dadurch also gezeigt, dass g injektiv ist und damit auch bijektiv oder?

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Und warum ist 1/i=-i

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Korrekt :)

Es gilt: \(i=\frac{i^2}{i}=\frac{-1}{i}\).