Basis angeben und die darstellende Matrix von Σf(x)*g(x) bezüglich dieser Basis bestimmen

Question

ich brauche eure Hilfe.

Sei X={1,...,n} und V= Fun(X,ℝ) die Menge aller Funktionen von X nach ℝ.

Sei s=VxV→ ℝ und die Funktion s gegeben durch  s(f,g)=Σf(x)*g(x) für f, g ∈ V. Ich habe im Teil a) bereits gezeigt, dass s eine symmetriche Bilinearform definiert.

Nun brauche ich eure Hilfe bei b.

Ich soll eine Basis von V angeben und die darstellende Matrix von s bezüglich dieser Basis bestimmen. Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll.

Als Basis hätte ich B={1,x,x²,x³,...xⁿ} gewählt, da s eine Funktion ist doch wie gehe ich nun weiter vor?

Answer 1

Als Basis hätte ich B={1,x,x2,x3,...xn}

Das klappt nicht.

Die Funktionen von {1,...,n} nach ℝ sind ja dadurch bestimmt,

dass jedem Element von {1,...,n} genau ein Funktionswert

zugeordnet wird

1 ---->  x1
2------->  x2

n ------>  xn .

jede Funktion kann also durch ein n-Tupel von Werten aus ℝ

beschrieben werden. Das ist also das gleiche wie ℝⁿ .

Die übliche Basis besteht also aus den Funktionen

f_i mit f_i(j)=1 für i=j und 0 sonst für alle i,j ∈  {1,...,n}.

die Matrix ist dann die Einheitsmatrix.und s das

klassische Skalarprodukt.

Comments

ok also den oberen Teil habe ich verstanden doch folgendes ist mir noch nicht klar

"Die übliche Basis besteht also aus den Funktionen
fi mit f_i(j)=1 für i=j und 0 sonst für alle i,j ∈  {1,...,n}.
die Matrix ist dann die Einheitsmatrix.und s das
klassische Skalarprodukt"

Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist eine Funktion doch gegeben durch

p(x)=x₁+...+x_n 

Dann ist

p(1)=1*x1+0*x2+...+0*xn

p(2)=0*x1+1*x2+...+0*xn

...

p(n)=0*x1+0*x2+...+1*xn.

Deshalb erhalte ich als Basis doch die Einheitsmatrix oder?

Aber warum ist s dann das klassische Skalarprodukt? Den Zusammenhang verstehe ich leider noch nicht

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Deshalb erhalte ich als Basis  ( nee Matrix)  doch die Einheitsmatrix oder?  Ja!

 In deiner Definition von  s(f,g)=Σf(x)*g(x)   geht die Summe ja sicher von x=1 bis n.

Wenn du also zwei Elemente f und g von V hast, dann ist das ja

 Σf(x)*g(x)   = f(1)*g(1) + f(2)*g(2) + .. + f(n)*g(n)

und wenn du f mit dem Vektor ( f(1) , f(2) , . , f(n) ) identifizierst

( g entsprechend ) dann ist das genau das Standardskalarprodukt.

Und das  "Identifizieren" klappt, weil

h : V ----> ℝ^n mit f → ( f(1) , f(2) , . , f(n) )  ein

Isomorphismus ist.

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Super dankeschön jetzt habe ich es verstanden!!!!