Flächensumme einer e Funktion berechnen

Question

Untersuche ob f_n (x) = xⁿ * e^-x   einen endlichen Flächeninhalt mit der 1. achse einschließt !

 

Ich dachte wir nehmen n = 1     , da die Fläche ja für n =2 größer wird .......

 

nach partieller Integration komme ich zu  F(x) = e^-x  ( -x -1) +c

 

wie berechne ich nun von 0 bis ∞   ????

 

danke

Answer 1

Hi,

n=1 ist eine schlechte Wahl. Wir hatten doch schon öfters, dass das eine spezielle Behandlung verdient (Bei der Stammfunktion vielleicht nicht, aber generell).

Du hast da F₁(x) = -e^{-x}(x+1)+c  raus

Für n=2

F₂(x) = -e^{-x}(x^2+2x+2)+c

 

wenn man das weiterführt, kommt durch die part. Integration in der Klammer immer ein weiterer Grad hinzu.

 

Wenn man nun Grenzen setzt:

[-e^{-x}(x^2+2x+2)]₀^b,    wobei b-> ∞ strebt, so ist sofort klar, dass beim Einsetzen der 0, das Ganze auch 0 bleibt.
Setzt man allerdings b ein, so hat man

e^{-b}(b^2+2b+2)

Bestimmt man nun diesen Grenzwert mit b->∞ und bedenkt, dass die e-Funktion stärker ist als jedes Polynom, so ist offensichtlich, dass das ganze gegen einen endlichen Wert strebt.

 

Grüße