Alle Lösungen in C der folgenden Gleichungen bestimmen und das Ergebnis in der Form x + i y mit x, y ∈ R angeben

Question

Ich sitze gerade vor einer Matheaufgabe, aber komme momentan nicht weiter, wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Also die Aufgabe lautet:

(z-√2)⁴= -16 mit z = re^iφ

und der Substitution w = z-√2 hab ich  schonmal 

w⁴ = r⁴e^4iφ = -16 = 16e^iπ   --> r⁴ = 16 --> r = 2

in meinen Lösungen steht danach 4φ = π + 2kπ, k ∈ Z

aber ich verstehe nicht, wie ich darauf kommen soll

ich habe mal einen screenshot von der Lösung hinzu gefügt.

Die Lösung beginnt bei (ii)

Danke schonmal

Answer 1

Hallo ultswonno, wenn du auf der rechten Seite -16 schreibst als 16 * e^πi, dann bekommst du nur eine einzige Lösung.  Die vierte Wurzel einer komplexen Zahl, das sind aber vier Zahlen.  Um alle herauszubekommen, muss du schreiben:  - 16 = e ^{i (π + 2 k π)}.  -16 kann ja dargestellt werden als e ^{i 180°}, e ^{i (180°+360°)}, e ^{i (180°+ 720°)}, usw.  Nur so bekommst du alle Lösungen.