Restklassen: Verständnisfrage zur Definition

Question

Moin!

Ich habe das Prinzip der Restklassen in den Ansätzen verstanden, allerdings werde ich aus dem eingerahmten Text nicht schlau. 

Meine Interpretation: 

habe ich variablen, die die gleiche Restklasse haben wie a und b, dann gilt *die letzte Zeile [roter Kasten]*.

Also ich habe c, d € Z und wenn c die gleiche Restklasse hat wie a und das gleiche mit d für b, dann gilt, dass a + b das gleiche ist wie c + d? 

Answer 1

Stell es dir erst mal konkreter vor:

Wenn etwa m=8 ist.

Dann sind 2 , 10 , 18, -6 , -14  alle in der gleichen Restklasse mod 8.

Und z.B. -3 ; 5 ; -11; 13 etc. auch alle in der gleichen Restklasse mod 8.

Nun soll ja die Klasse, die der Summe dieser beiden Restklassen entspricht

unabhängig sein von der Wahl des Repräsentanten.  Ob du also 

2+(-3) , oder 10+11 oder 2+13 oder -6 + 13  nimmst, es ist egal; denn 

-1                   21                15               7 

sind alle in der gleichen Restklasse, standardmäßig repräsentiert

von 7.

Comments

Verstehe ich fast alles mit Ausnahme der letzten Zeilen.

Als Beispiel pick ich mal 2 + (-3) heraus: 

Die Restklasse von:

$$[2]_7 = {..., -5, 2, 9, 16, ...}$$

$$[-3]_7 = {..., -10, -3, 4, 11, ...}$$

$$[-1]_7$$ hat wieder eine andere Restklasse. Wieso sollen die alle in der selben Restklasse repräsentiert sein? 

Offenbar hab ich hier irgendwas verpasst...

Was verstehe ich hier etwas falsch?

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Richtig ist [2]₇ ⊕ [-3]₇  = [-1]₇ .

Und das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der

Repräsentanten; denn ob du 

2+(-3) oder (-5)+(-10) oder 9+(-3) oder 16+4 

rechnest ist egal. Das Ergebnis ist immer

ein Element aus der Restklasse [-1]₇  .

Answer 2

Laut Definition ist [3]₇ ⊕ [5]₇ = [3+5]₇ = [8]₇.

Wegen 10 ∈ [3]₇ ist [3]₇ = [10]₇.

Wegen 12 ∈ [5]₇ ist [5]₇ = [12]₇.

Laut Definition ist [10]₇ ⊕ [12]₇ = [10+12]₇ = [22]₇.

Aussage des rot umrandeten Textes ist nun: wäre [8]₇ ≠ [22]₇, dann würde die Definition keinen Sinn ergeben.

Answer 3

Da steht einmal: Die Summe der Restklasse mod m in der a liegt und der Restklasse mod m in der b liegt ist in der gleichen Restklasse mod m in der a+b liegt. Beispiel:  Sei m=5. Dann ist [7]₅+[9]₅= [7+9]₅. Wählen wir für die Summanden den kleinsten Repräsentanten der Restklasse, dann liegt 2+4 in der gleichen Restklasse mod 5, wie 16.