Was ist Unendlichkeitsverhalten?

Question

Ich muss morgen einen Referat über das Unendlichkeitsverhalten vortragen! Ich weiß aber nicht was das ist.

Kann mir jemand sagen, was ich in meinen Referat darüber erzählen soll?   Beispielaufgaben und Lösungen wären auch nett!

Answer 1

ganz grob gesagt: Gegeben sei eine Funktion f(x). Das Unendlichkeitsverhalten dieser Funktion untersucht man vermittels der Grenzwertbildung:

\(  \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = ...\) oder

\( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = ...\).

Mit dieser Grenzwertbildung "untersuchst du das Verhalten der Funktion f(x) im Unendlichen".

Welchen Wert nimmt die Funktion f(x) also in der Grenze an?

Beispiel: \( f(x) = \frac{1}{x} \).

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0\),

da für immer größere x der Ausdruck \( \frac{1}{x} \) immer kleiner wird.

Anderes Beispiel: \( f(x) = x^3 \).

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} x^3 = \infty \),

\( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3 = -\infty \).

Noch anderes Beispiel: \( f(x) = e^x \).

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} e^x = \infty \),

\( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x = 0 \).

Zur Veranschaulichung kann hier eine Skizze der Funktionen hilfreich sein.

MfG

Mister

Comments

 Und was ist das L'Hospital? Ich sollte es auch vortragen.

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Captain Einsicht sagt: "Der Sonntag ist eigentlich zu spät, um einen Vortrag am Montag vorzubereiten."

L'Hospital besagt, dass der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten der Ableitungen dieser Funktionen ist:

\( \lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'} \).

MfG

Mister

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PS: Du bist nicht zufällig Lehramtskandidat?

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Nein bin ich nicht :) Okay   Gibt es nicht noch mehr Sätze von L'Hospital? Oder war es das schon? Und wie wendet man diese in Aufgaben an?

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Nein, nur den einen. Und diesen wendest du so an, wie er da steht. Du indentifizierst eine Funktion als Quotienten zweier Funktionen, zum Beispiel

\( f(x) = \frac{e^x}{x} \)

und bildest die Ableitungen vom Zähler ( \( e^x \) ) und Nenner ( \(x\) ) und erhältst einen neuen Quotienten, dessen Grenzwert mit dem der Ausgangsfunktion \( f(x) \) übereinstimmt.

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Ähm, vielen Dank für deine Antwort. Mir ist spät etwas aufgefallen. Ich muss den Satz von L'Hospital auch im Bezug mit dem Unendlichkeitsverhalten vortragen. Wie mache ich das? Kannst du mir bsp. Aufgaben geben und zeigen wie man es mit den Satz von L'Hospital lösen kann oder was es bringt?

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Es steht bereits so dar. Es gilt für jeden Grenzwert, also auch für \( x \rightarrow \infty \).

Du kannst probeweise ja mal den Grenzwert von der Funktion f(x) bilden.

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Korrektur: Es gilt nur für die Grenzwerte \( +\infty \) oder \( -\infty \).

MfG

Mister

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Okay ich habe jetzt meinen Referat fast fertig vorbereitet. Vielen Dank für deine Hilfe. Jedoch bleibt mir noch eine Frage übrig.

Ich habe jetzt nach dem Satz von L'Hospital die Funktion f(x)= e^x/x nach dem Unendlichkeitsverhalten untersucht und kam zu folgenden Ergebnis:

lim_x→∞  e^x/x = lim_x→∞  e^x

 

Wie geht das weiter?

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lim_x→∞  e^x

Naja, was passiert denn, wenn Du jetzt x gegen Unendlich gehen lässt?

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Achso. Man lässt also x gegen unendlich laufen? Okay dann ist alles geklärt.

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Naja, die Regel von L'Hospital wendest Du ja an, weil sich zunächst mal nicht abschätzen lässt was der Bruch ergibt.

lim_x→∞  e^x/x

Wenn Du hier x gegen Unendlich laufen lässt erhältst Du quasi[∞/∞]. Du kannst Dir hier nicht sicher sein was nun das Ergebnis ist, welcher Teil eben schneller gegen Unendlich läuft sozusagen. Da kommt die Regel zum Einsatz. Genauso bei [0/0], [0*∞], [0⁰], [1^∞], [∞^0] oder [∞-∞]. In diesen Fällen formt man den Term bei dem man die Grenzwertbetrachtung durchführt geeignet um und wendet die Regel von L'Hospital an bis das Ergebnis eindeutig ist.

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Man muss aber aufpassen: $$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}x$$ existiert und ist Eins, wohingegen $$\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}1$$ nicht existiert.