Analytische Geometrie (Parameterform -> Kartesischefrom)

Question

MatheBoard

ic hab probleme bei aufgaben mit der Analytischen geometrie also wie man von

Parameterform -> Kartesische from unwandelt etc. Morgen hab ich keine Klausur und hänge halt fest wie man das berechnet bzw. umwandelt etc

Ein Auszug aus der Probeklausur :



Gegeben ist die folgende Funktion f: x -> y in parametrischer Darstellung, wobei unter x, y
die kartesischen Koordinaten zu verstehen sind.
M = { (x , y) / x = cos(t), y = sin²(t) ,
0 <= t <= pi
}


a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der Funktion y = x² und geben Sie dabei die
zugehörigen t-Werte an.
b) Beschreiben Sie die mittels M gegebene Funktion in expliziter Form nur mit kartesischen
Koordinaten, d.h. in der Form y = f(x)
c) Geben Sie Definitionsbereich D und Wertebereich W der mittels M beschriebenen
Funktion f an.

Answer 1

zu a): um die Schnittpunkte zu bestimmen, reicht es aus, die Parameterform in die Parabel einzusetzen. Also

$$y=x^2$$ $$\sin^2(t) = \cos^2(t)$$ addiere auf beiden Seiten \(\sin^2(t)\)

$$2 \sin^2(t) = \cos^2(t) + \sin^2(t)=1$$

$$\sin(t) = \pm \frac12 \sqrt{2}$$ damit hat man für \(t\) im  Intervall \([0;\pi]\) zwei Lösungen:

$$t_1 = \frac14 \pi; \quad t_2= \frac34 \pi$$

weitere Lösungen entfallen, da der Definitionsbereich von \(t\) nur von \(0\) bis \(\pi\) reicht.

zu b): Um auf die kartesische Form zu kommen, wandele ich \(y\) etwas um - es ist:

$$y = \sin^2(t) = 1- \cos^2(t) = 1 - x^2$$

zu c): zum Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) lässt sich sagen: \(\mathbb{D} =  \{ t \space | t \in [0;\pi]\}\), da dies bereits so vorgegeben ist.

Der Wertebereich ist \(\mathbb{W} = \{(x,y) \space | x \in [-1;1]; \space y \in [0;1]\} \).

Gruß Werner