Analytische Geometrie: Ebenengleichung in Parameterform zur Koordinantenform

Question

Aufgabe:

Die folgende Ebenengleichung in Parameterform soll in Koordinatenform dargestellt werden.

E: (X,Y,Z) = (2,-1,-3) +r (1,0,7) +s(0,-1,-1)

Per Gleichungssystem Lösen!

Problem/Ansatz:

Hi, wenn ich die Gegebene Gleichung mit den Normalenvektor als Koordinantengleichung aufstelle komme ich auf 7x+y+z=16

wenn ich es allerdings mit dem Gleichungssystem probiere bin ich mir sehr unsicher ob das so stimmt?

x = 2+r

y = -1-s

z= -3+7r-s

ich hatte für s= -5 raus und für r = 2/7?

wenn ich S bzw. r in die Ebenengleichung einsetze müsste ich doch auf mindestens ein vielfaches der werte von 7x+y+z=16 kommen oder hab ich da was falsch verstanden?

EDIT(Marvin): Aufgabenstellung ergänzt

Comments

E: (X,Y,Z) = (2,-1,-3) +r (1,0,7) +s(0,-1,-1)
Das hier ist eine Ebenengleichung. Da gibt es nichts aufzulösen. Hier fehlen Teile der Aufgabenstellung, um dir zu helfen.

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Ja, für die Ebenengleichung soll eine Koordinantengleichung erstellt werden.

also von Ebenengleichung → in Koordinantengleichung per Gleichsetzungssystem

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Oh,sorry. Habe das wohl im Titel überlesen. Am besten wäre es, wenn du das noch in die Frage selbst reinschreibst, habs mal editiert. Antwort kommt direkt.

Answer 1

Über Normalenvektor

n = [1, 0, 7] ⨯ [0, -1, -1] = [7, 1, -1]

E: [x, y, z]·[7, 1, -1] = [2, -1, -3]·[7, 1, -1]

E: 7·x + y - z = 16

Nun mit einem Gleichungssystem

E: X = [2, -1, -3] + r·[1, 0, 7] + s·[0, -1, -1]

x = r + 2 --> r = x - 2
y = -s - 1 --> s = -y - 1
z = 7·r - s - 3

Ich setze die I. und die II. in die III. ein

z = 7·(x - 2) - (-y - 1) - 3 --> 7·x + y - z = 16

Answer 2

Ich kann dir nicht ganz so folgen, bei dem was du dort versuchst, aber:

Also für deinen Vektor soll gelten: (a,b,c)*(1,0,7) = 0 und (a,b,c) * (0,-1,-1)
=>
1a + 0 b + 7c= 0
0a -1b - 1c = 0

=>
a= -7c

-b = c

Jetzt wähle ich c= 1 =>

b = -1

a = -7

Also haben wir:
-7*x -1*y +1*z = d

Jetzt setze ich einen beliebigen Punkt ein, der auf der Ebene liegt(z.B. Ortsvektor:)
-7 * 2 + (-1)*(-1) +1 * (-3) = -16

=>
-7*x -1*y +1*z = -16

Du wirst dich irgendwo verrechnet haben bzw. ein Vorzeichen vergessen haben.