Parameterform, P ein Punkt der Ebene E, Gerade, Gleichung - Analytische Geometrie

Question

Aufgabe:

 Gegeben sind die Punkte A = (0/−8/4), B = (−3/−8/1) und C = (4/−4/6).

(i) A, B und C liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie für E eine Ebenengleichung in Parameterform.

(ii) Gegeben ist weiter eine Menge von Punkten P_a = (1/−2a/a + 1) mit a ∈ R. Kann a derart bestimmt werden, dass P_a ein Punkt der Ebene E ist?

 (iii) M sei der Mittelpunkt der Strecke AC. Wie muss a ∈ R gewählt werden, damit die Punkte B, M und Pa auf einer Geraden liegen?

(iv) Alle Punkte P_a liegen auf einer Geraden h. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden.

Answer 1

(i) Einen Aufpunkt der Ebene hast Du gegeben, entweder \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) oder \( \vec{C} \). Dann z.B. die Differenzen \( \vec{B} -\vec{ A} \) und \( \vec{C} - \vec{A} \) bilden. Das gibt die Richtungsvektoren Deiner Ebene.

(ii) Setze die Ebenegleichung gleich dem Punkt \( P_a \) und prüfe ob das Gleichungssystem lösbar ist. Ist es lösbar, berechne die Lösungen und den Punkt.

(iii) Bestimme den Mittelpunkt durch \( M = \frac{1}{2} ( \vec{A} + \vec{C}) \) Die Gerade durch \( B \) und \( M \) lautet \( g: \vec{B} + r (\vec{M}-\vec{B}) \) Setze diese Gerade gleich dem Punkt \( P_a \) und löse nach \( a \) auf.

(iv) Schreibe den Punkt \( P_a \) in eine Geradengleichung (Parameterform) um mit Aufpunkt und Richtungsvektor.