Analytische Geometrie Schnittwinkel und Punkt

Question

In welchem Punkt und unter welchem Schnittwinkel (alpha) (alpha in gradmaß 0<alpha<90) schneidet die gerade g4 die ebene E4 

g4: r= (0,0,0)+landa*(3,2,-1) 

E4: 5x+y-z-9=0

Ich hoffe ihr könnt mir bei der aufgabe weiter helfen.

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Tue mir bitte mal einen Gefallen: Klick auf folgendes Bild, und rotiere die Szene in Geoknecht3D mit der Maus, so dass Du einen räumlichen Eindruck bekommst.

Du siehst dort die Ebene und ihren Normalenvektor (grün) und die Gerade (rot) sowie den Schnittpunkt \(S\).

Frage: bringt Dir diese Art der räumlichen Ansicht etwas zum Verständnis der Aufgabe?

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Hab ich gemacht ist top...!!!

Answer 1

g4: r= (0,0,0)+λ*(3,2,-1) =(3λ,2λ,-1λ)

E4: 5x+y-z-9=0

g in E einsetzen gibt 

5*3λ +2λ -(-1λ) - 9 = 0 

                   18λ = 9 

                     λ=0,5

also ist der Punkt (3*0,5;  2*0,5  ;  -1*0,5) =  (1,5;  1   -0,5) 

Und der Winkel ist

90°  - α   ,

wenn α der Winkel zwischen Richtungsvektor von g und Normalenvektor von E ist.

cos(α) = ( ( 3 ; 2 ; -1 ; ) * ( 5 ; 1 ; - 1 ) )  /  ( |( 3 ; 2 ; -1 ; )| *| ( 5 ; 1 ; - 1 )| ) 

cos(α) = 18 /   √ (( 9+4+1)*(25+1+1) ) = 18 / √378 =0,926

==>  α = 22,2°  

Also der gesuchte Winkel 67,8°.

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Dankeschön sehr verständlich erklärt:)