(Analytische Geometrie) Rekonstruktion eines Hauses: Gerade orthogonal zur Ebene

Question

Aufgabe:

Durch die drei Punkte A(4/0/14) B(4/12/14) C(0/12/6) verläuft die Ebene E1. Sie schneidet die Ebene E2: 2x+z=22. Berechnen Sie die Schnittegerade.

In der Bauphase wird zur Befestigung des Lastenaufzugs eine Stange benötigt. Diese Stange durchstößt die dreieckige Frontfläche FGH im Punkt T(8/6/12) und verläuft orthogonal zur Ebene E2. Berechnen sie die Koordinate des Befestigungspunktes der Stange auf der Dachfläche E1.

Die Stange ragt \( \sqrt{1.25} \) m aus der Frontfläche heraus. Berechnen sie die Höhe der Stangenspitze über dem Erdboden.

Problem/Ansatz:

Schnittgerade:

OX=\( \begin{pmatrix} 4\\0\\14 \end{pmatrix} \) +t* \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Gerade

x=8+2r

y=6

z=12+1r

g in E2

-> r= -6/5    -> S(5,6/6/10,8)

Höhe

d= \( \sqrt{1,25} \) = \( \sqrt{5x^2+56x+244} \)

Dies ist eine CAS Aufgabe und eigentlich sollte hier eine Lösung rauskommen, tut es aber nicht. Obwohl ich schon alle Variabeln rausgenommen habe. Die Gerade kann eigentlich auch nicht falsch sein. Damit die Gerade senkrecht zur Ebene ist, muss der Normalenvektor ja eigentlich nur übereinstimmen/parallel sein.

Irgendwas muss da falsch sein, denn auch die nächste Aufgabe hat so keine Löung, gibt leider auch kein Kontrollergebniss wie es sonst üblich ist in ABI Aufgaben, damit man weiterrechnen kann.

Da ist die Stange in 10 m Höhe und trifft auf EG. Auch hier kommt beim CAS wieder "no solution" raus, obwohl ich schon einen reset gemacht habe.

\( \begin{pmatrix} 8\\6\\12 \end{pmatrix} \) -2*\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\6\\10 \end{pmatrix} \) +s*\( \begin{pmatrix} 4\\4\\-8 \end{pmatrix} \)

Schonmal danke für Eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo

Diese Stange durchstößt die dreieckige Frontfläche FGH im Punkt T(8/6/12) und verläuft orthogonal zur Ebene E2. Berechnen sie die Koordinate des Befestigungspunktes der Stange auf der Dachfläche E1.

Sind die Punkte von F, G und H gegeben?

Für die Gleichung der Geraden (Stange) kannst du T als Stützvektor und den Normalenvektor von E2 als Richtungsvektor nehmen. Dafür brauchst du keinen TR.

Dann die Koordinaten in E1 einsetzen, um den Schnittpunkt mit der Dachfläche zu bestimmen. Koordinatenform E1: -2x + z = 6

Ansatz: -2(8 + 2r) + 12 + r = 6

r = -\( \frac{10}{3} \)

Gruß, Silvia

Comments

Danke für die Hilfe.

F(8/2/6) G(8/10/6) und H(8/6/14) sind schon gegeben.

Ich dachte nur, dass sie nicht relevant wären, weil T ja in dieser Ebene liegt. Gesucht ist die Länge von der Frontalfläche FGH und weil T in dieser Frontalfläche/Ebene liegt, beträt folglich vom Punkt T die Länge der Stange \( \sqrt{1,25} \) .

Oder nicht? Vielleicht ist sie doch etwas komplizierter, da sie 7 BE hat. Übrigens stammt sie aus dem ABI 2010 (Nachschreiber).

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Also eigentlich müsste

d= \( \sqrt{1,25} \) = norm(\( \begin{pmatrix} 8\\6\\12 \end{pmatrix} \) + x*\( \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \) )

d= \( \sqrt{1,25} \) = \( \sqrt{5x^2+56x+244} \)

sein. Irgendwas scheint aber falsch zu sein bei der Idee, weil keine Lösung rauskommt.

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Könntest du bitte mal den kompletten Aufgabentext einstellen?

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a)

Durch die drei Punkte A(4/0/14) B(4/12/14) C(0/12/6) verläuft die Ebene E₁. Sie schneidet die Ebene E₂: 2x+z=22. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene E1 und E2 und berechnen Sie den Schnittwinkel.

d)

In der Bauphase wird zur Befestigung eines Lastenaufzugs eine Stange benötigt. Diese Stange durchstößt die dreieckige Frontfläche FGH im Punkt T(8/6/12) und verläuft orthogonal zur Ebene E₂.

Berechnen sie die Koordinate des Befestigungspunktes der Stange auf der Dachfläche E₁.

Die Stange ragt \( \sqrt{1.25} \) m aus der der Frontfläche heraus. Berechnen sie die Höhe der Stangenspitze über dem Erdboden.

Die Punkte E und G liegen in E2 -->  E2 ist die andere Dachhälfte

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Danke.

Gesucht ist der Punkt P auf der Geraden, der von T den Abstand \( \sqrt{1,25} \) hat.

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 8\\6\\12 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}\\ P=\begin{pmatrix} 8+2r\\6\\12+r \end{pmatrix}\\\)

mit der Abstandsformel gilt

\(|\overrightarrow{PT}|=\sqrt{(2r)^2+r^2}=\sqrt{5r^2}\\ \sqrt{5r^2}=\sqrt{1,25}\\ 5r^2=1,25\\ r^2=0,25\\ r=0,5\)

Setze r in die Geradegleichung ein und du erhältst für P

\(P=\begin{pmatrix} 8\\6\\12 \end{pmatrix}+0,5\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9\\6\\12,5 \end{pmatrix}\\\)

Damit ist die Spitze 12,5 m vom Boden entfernt.

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Ahhhhhhhhh, jetzt habe ich es verstanden.

Ich hatte bei der Abstandsberechnung nur OP berechnet, anstatt OT - OP.

Vielen Dank !!!

Answer 2

d)

Berechnen Sie die Koordinate des Befestigungspunktes der Stange auf der Dachfläche E1.

[8, 6, 12] + r·[2, 0, 1] = [2·r + 8, 6, r + 12]

in E1 einsetzen

2(2·r + 8) - (r + 12) = -6 --> r = - 10/3

[8, 6, 12] - 10/3·[2, 0, 1] = [4/3, 6, 26/3]

Berechnen Sie die Höhe der Stangenspitze über dem Erdboden.

[8, 6, 12] - √1.25/√(2^2 + 1^2)*[2, 0, 1] = [7, 6, 11.5]

Die Höhe der Stangenspitze beträgt also 11.5 m.