EDIT: Uneigentliches Integral ausrechnen. Grenzen einsetzen bei z/((r^2)(z^2 + r^2)^{1/2})

Question

EDIT: Ursprüngliche Überschrift und Frage: "Funktion vereinfachen - Kürzen " 

Hi,  ich kann leider nicht nachvollziehen,  wie man vom folgenden Bruch auf 2/r^2 kommt.  

z/((r^2)(z^2 + r^2)^{1/2})

Könnt ihr mir bitte helfen? 

EDIT: Eigentliche Frage im Kommentar. Hier (unformatierte Kopie): 

Klausur.pdf (0,4 MB)
Die Aufgabe stammt aus einer alten Physik Klausur (Aufgabe 3.a, siehe PDF, Lösung am Ende). Ursprünglich sollte ich das Integral (qr / 4Pi e0 ) -inf ∫+inf  dz / (r2 + z2)3/2  lösen. Als Hilfestellung gab es den Hinweis, dass das gelöste Integral z / ( (r2) * √ (z2 + r2) )  sei. Nur die Kürzung auf 2/r2 versteh ich nicht. Der Online Integralrechner kommt auch auf die 2/r2 .

Comments

z / ( (r^2) * √ (z^2 + r^2) ) 

Simmt der Term ?

mein Matheprogramm kann auch nichts
weiter vereinfachen.

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Ist z vielleicht komplex? Also: z = x + iy 

und |z| = r ? 

Ich rechne hier aber erst etwas, wenn Martin die Frage präzisiert hat. 

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Klausur.pdf (0,4 MB)

Die Aufgabe stammt aus einer alten Physik Klausur (Aufgabe 3.a, siehe PDF, Lösung am Ende). Ursprünglich sollte ich das Integral (qr / 4Pi e0 ) _-inf ∫^+inf  dz / (r² + z²)^3/2  lösen. Als Hilfestellung gab es den Hinweis, dass das gelöste Integral z / ( (r2) * √ (z2 + r2) )  sei. Nur die Kürzung auf 2/r² versteh ich nicht. Der Online Integralrechner kommt auch auf die 2/r² .

Answer 1

Da sollte man dann wohl nicht "kürzen" sondern schlicht die Grenzen einsetzen, die Grenzwerte sauber ausrechnen. Kurzfassung: 

Integral (-inf^{inf}) f(z) dz = 

lim z-> inf (z / ( (r2) * √ (z2 + r2) )) - lim z-> (-inf) z / ( (r2) * √ (z2 + r2) ) 

= 1/r^2 - (-1/r^2) = 2/r^2 

Answer 2

$$ \left[\frac{z}{r^2\cdot \sqrt{z^2 + r^2}}\right]_{-\infty}^{\infty} = 2\cdot \left[\frac{z}{r^2\cdot \sqrt{z^2 + r^2}}\right]_{0}^{\infty} = 2\cdot \lim_{x\to\infty}\left[\frac{z}{r^2\cdot \sqrt{z^2 + r^2}}\right]_{0}^{x} = \frac{2}{r^2} $$