Wenn eine quadratische Funktion zwei Nullstellen x1 und x2 hat, dann liegt die Scheitelpunktstelle xs tatsächlich genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, also:
xs = ( x1 + x2 ) / 2
Dasselbe gilt, wenn die Funktion nur eine Nullstelle hat, dies ist dann eine sogenannte "doppelte Nullstelle". Die doppelte Nullstelle kann als zwei identische Nullstellen aufgefasst werden, also x1 = x2. Daraus ergibt sich (auch mit obiger Formel), dass eine solche Stelle auch gleichzeitig die Scheitelpunktstelle ist.
Hat die Funktion hingegen keine Nullstelle, dann kann man die Scheitelpunktstelle so nicht berechnen. Es gibt dann aber einen kleinen Trick, mit dem man das schließlich doch hinbekommt. Der Trick besteht darin, den Funktionsterm durch Addition einer geeigneten Konstanten so zu verändern, dass die daraus resultierende Verschiebung des Funktionsgraphen parallel zur y-Achse dazu führt, dass er die x-Achse doch schneidet. Dann hat man wieder eine oder zwei Nullstellen und kann obige Formel anwenden. Die so gefundene Scheitelpunktstelle des verschobenen Graphen ist auch Scheitelpunktstelle des ursprünglichen Graphen, denn die Addition der Konstanten führt zu einer Verschiebung parallel zur y-Achse, ändert also an der x-Koordinaten des Scheitelpunktes nichts.
Beachte: Wenn der Funktionsgraph nach oben geöffnet ist (wenn also der Streckfaktor vor dem quadratischen Glied des Funktionstermes positiv ist), muss man eine negative Zahl addieren, damit der Graph nach unten verschoben wird. Bei einem nach unten geöffneten Graphen hingegen, wenn also der Streckfaktor vor dem quadratischen Glied des Funktionstermes negativ ist, muss man eine positive Zahl addieren, damit der Graph nach oben verschoben wird.
Edit (um noch auf deine letzte Frage einzugehen): Die Nullstellen einer Funktion f ( x ) sind diejenigen Stellen x, an denen der Funktionswert y = f ( x ) den Wert 0 annimmt, an denen er also in einem Koordinatensystem die x-Achse schneidet.
In deinem Fall sind das also die Stellen x1 = 1 und x2 = 2 .
