Gehe einfach davon aus, das Ergebnis ist
$$\sqrt[3]{z} = a + b\cdot i$$ dann potenzieren:
$$\begin{aligned} z &= (a + b\cdot i)^3 \\ &= a^3 + 3a^2b \cdot i + 3 ab^2\cdot i^2 + b^3\cdot i^3 \\&= (a^3 - 3ab) + (3a^2b - b^3)i \end{aligned}$$
Ist \(z=-4\sqrt{3} + 4i\) so kann man über den Koeffizientenvergleich \(a\) und \(b\) bestimmen. Das ist schwierig ...
Die zweite Möglichkeit besteht darin, \(z\) in die Polarform umzuwandeln:
$$z=-4\sqrt{3} + 4i = 8 \cdot e^{\frac56 \pi \cdot i}$$ dann die dritte Wurzel aus \(r\) und ein Drittel des Winkels nehmen. In diesem Fall ist
$$\sqrt[3]{z} = x =\sqrt[3]{8 \cdot e^{\frac56 \pi \cdot i}} = 2 e^{\frac{5}{18} \pi \cdot i}$$
Bem.: \(\frac{5}{18} \pi = 50°\). Und weil es bei der dritten Wurzel immer drei Lösungen gibt, addieren wir einmal \(\frac23\pi\) und einmal \(\frac43\pi\) zum Winkel dazu:
$$x_1 = 2 e^{\frac{5}{18} \pi \cdot i}; \quad x_2=2 e^{\frac{17}{18} \pi \cdot i}; \quad x_3 = 2 e^{\frac{29}{18} \pi \cdot i}$$
Bei \(z=-46 +9 \cdot i\) kann man die Koeffizienten raten. Sind sie ganzzahlig, so muss der Realteil durch \(a\) und der Imaginärteil durch \(b\) teilbar sein. Hier kann man mal \(b=3\) raten, dann wäre \(a=2\) und die Probe zeigt, dass es stimmt!
$$\sqrt[3]{-46 +9 \cdot i} = 2 + 3\cdot i$$ Die beiden anderen Lösungen erhält man immer durch Multiplikation mit \(-\frac12 + \frac12\sqrt{3} \cdot i\)
versuche die anderen mal selber. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
