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die Aufgabe lautet :

Prüfen Sie die folgende aussagen, Wenn Sie falsch sind widerlegen sie Wenn Sie richtig sind begründen Sie. Dabei kann die primfaktorzerlegung sehr nützlich sein.

1) wenn eine natürliche Zahl eine natürliche Zahl a^2 teilt dann teilt die natürliche Zahl auch a 


2) wenn eine Primzahl p eine natürliche Zahl a^2 teilt dann teilt p auch die natürliche Zahl a 


3) wenn a^2 durch 3 teilbar ist ist auch a durch drei teilbar 

4) wenn a^2 durch 9 teilbar ist dann ist a nicht immer durch 9 teilbar 


Die Aufgaben hören sich so logisch an aber mir fehlt die Begründung 

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Gib fuenf konkrete Beispiele für die Aussage unter 1) an.

2 | 2^2 ( 4) 

Also teilt auch 2| 2


3| 9^2 (81)

3| 9 

Usw...

4 | 22 also auch 4 | 2.

1 Antwort

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Zu 3):

Such dir eine Begründung aus (ist aus dem Lösungsbuch):

Behauptung in Variablen: Wenn a²=(3c)² dann ist a=3c
a,b,c= Natürliche Zahlen | (3b=(3c)²

a²=3b | man kann umschreiben
(3c)²= 3b |Wurzel ziehn
3c=3b−−√∣∣ da man oben erkennen kann das a²=3b ist muss 3b−−√=a sein.
3c=a| man hat 3b−−√ durch a ersetzt.

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a=3n+r daraus folgt: a2=9n2+6n∗r+r2=3∗(3n2+2∗n∗r)+r2. Somit ist a2 nicht durch 3 teilbar. Denn r2 ist nicht durch 3 teilbar. r hat ja laut Voraussetzung den Wert 1 oder 2.

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Quadratzahlen: 1,4,9,16,25,36...

Welche sind durch 3 teilbar? 9 und 36 und ... (jede 3. Quadratzahl)

9√=3... durch 3 Teilbar... 36−−√=6... durch 3 Teilbar, denn es ist ja immer die 3. Zahl.

zu meiner Aussage: jede 3. Quadratzahl ist durch 3 Teilbar:

Wenn man sich das Bildungsgesetz der Quadratzahlen anschaut:

1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25

Alle ungerade Zahlen addiert bis zur Quadratzahl a2

Die Folge der ungerade Zahlen ist an=2n−1

(2n−1)+(2(n+1)−1)+(2(n+2)−1)

Das sind 3 aufeinanderfolgende ungerade Zahlen.

Ein bisschen umgestellt:

(2n−1)+(2n+2−1)+(2n+4−1)=6n+3 Auch durch 3 Teilbar.

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Ok Dankeschön hab’s :) 

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