Primzahlen und Teilbarkeit

Question

Ich habe eine beliebige Primzahl p> 5 dann ist das Produkt (p-2)(p-1)(p+1)(p+2) immer durch 360 teilbar (ohne Rest). Wieso?

Answer 1

wenn die Primzahl größer 5 ist, dann ist sie jedenfalls ungerade und damit sind

p-1 und p+1 beide durch 2 und einer davon sogar durch 4 teilbar.

Also ist das gesamte Produkt schon mal durch 8 teilbar.

Da die Primzahl >5 ist, ist sie nicht durch 5 teilbar anderer seits ist von

5 aufeinanderfolgenden Zahlen (p-2)  (p-1)   p  (p+1)   (p+2) immer eine

durch 5 teilbar, da es das p nicht ist, muss es einer der Faktoren sein.

Außerdem ist das p nicht durch 3 teilbar, also ist sowohl einer der

beiden (p-2)  (p-1)   als auch einer der beiden   (p+1)   (p+2) durch 3 teilbar.

Damit hat das Produkt die Teiler 8 und 5 und 9 also, da diese teilerfremd sind auch

das Produkt 8*5*9= 360.

Comments

top, danke!!

wieso ist einer von (p-1) oder (p+1) durch 4 teilbar?

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Von 2 aufeinander folgenden geraden Zahlen ist eine durch 4 teilbar.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

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Ich verstehe nicht wieso es dann durch 5 teilbar ist, es sind doch so nur vier aufeinanderfolgende Zahlen. Ich kann doch nicht einfach p hinzufügen ?

Die zahlen heißen doch (x+1)(x-1)(x-2)(x+2)

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Von den5 Zahlen

x-2    x-1     x     x+1    x+2 

ist immer mindestens eine durch 5 teilbar.

Da das x NICHT durch 5 teilbar ist, muss es eine der

anderen sein.

Answer 2

Hey

Egal welche Primzahl >5 du für p einsetzt, wird das Produkt immer durch 360 teilbar sein:

Bei jeder Primzahl >5 ergeben sich für das Produkt immer zwei ungerade und zwei gerade Zahlen, die multipliziert werden: Ich meine Beispiel 7:

5*6*8*9 (hier haben wir einmal 5 und 9 als ungerade und 6 und 8 als gerade Zahlen. Das Produkt  der gleichen ANzahl an je ungeraden und je geraden Zahlen ist immer gerade: Beispiel 6*5=30 oder 2*3*4*5=120.

Die Primzahl muss hier über 5 sein damit für das Produkt eine Zahl erzeugt wird die >360 ist und deshalb restlos durch 360 teilbar sein kann.