Primzahlvierling Teilbarkeit durch 15

Question

Aufgabe:

Die vier Zahlen p, p+2, p+6,p+8 sollen alles Primzahlen sein und p≥11 sein. Zu beweisen ist, dass 15|(p+4) teilt.

Beweise außerdem, dass die Summe immer durch 60 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass es sich hier um einen Primzahlvierling handelt. Ich weiß auch, dass die mittlere Zahl in diesem Vierling bzw. genau zischen den Zwillingen immer eine Zahl ist, die durch 15 teilbar sein soll. Man kann daher die Zahlen auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben. Jedoch bekomme ich keinen Beweis auf die reihe bzw. benötige einen Ansatz.

Answer 1

Hallo,

Primzahlen \(\geq11\) enden immer auf eine der Ziffern \(1,3,7,9\). Damit also \(p,\,p+2,\,p+6,\,p+8\) alles Primzahlen sein können muss \(p\) auf \(1\) enden. Dann ist \(p+4\) durch 5 teilbar.

Um die zu zeigen, dass \(p+4\) auch durch \(3\) Teilbar ist betrachte die Restklassen\(\mod 3\) von \(p,\,p+2,\,p+4\) per Fallunterscheidung.

LG Dojima

Comments

ok das ergibt Sinn. ich zeige einfach nur, dass mein p+4 durch 5 und 3 teilbar ist. aber wie zeige ich jetzt, dass die Summe des Vierlings durch 60 teilbar ist?

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Das hast du eigentlich fast schon aufgeschrieben. Wenn du weißt, dass \(p+4\geq15\) durch \(15\) teilbar ist, kannst du den Vierling so schreiben wie bei dir oben. Addiere dann einfach die Zahlen und vereinfache.

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Ach ja! ist ja logisch. Addiert ergibt das ja 60n. dann ist die Summe auch logischerweise teilbar durch 60. Vielen Dank für die schnelle und späte Hilfe.

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Ich habe noch eine Nachfrage. Nach Vorlesung kann man jeden Primzahlzwilling als 6k-1, 6k+1 bezeichnen. Ich weiß, dass es bei einem Primzahlvierling um zwei Primzahlenzwillinge mit 3 aneinanderhängenden zusammengesetzten Zahlen dazwischen handelt. Somit würde für meine Darstellung p, p+2, p+6, p+8 gelten: 6k-1,6k+1,6k+5,6k+7. Dann ergibt sich für (p+4): 6k+3. Diese Zahl ist dann doch offensichtlich durch 3 teilbar. Kann ich die Teilbarkeit durch 3 so auch nachweisen?

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Ja, so geht es auch