Primfaktorzerlegung Beweis Teilbarkeit

Question

Aufgabe:

Seien a,b ∈ ℕ mit den Primfaktorzerlegungen:

a= p₁^k1... p_m^km

^{b= p}₁^{l1 ...} p_m^lm

Beweise Sie: Wenn k_j ≤ l_j für alle j ∈ {1,...,m} gilt, dann ist a ein Teiler von b.

Ansatz/Frage:

a|b ⇔ k1 ≤ l1 ∧ k2 ≤ l2 ∧ . . . ∧ kn ≤ ln

⇔ k1 · m ≤ l1 · m ∧ k2 · m ≤ l2 · m ∧ . . . ∧ kn · m ≤ ln · m

Das ist äquivalent zu a^m | b^m und darauf folgt a|b

Stimmt das so oder habe ich was falsch verstanden? Vielleicht kann mir jemand helfen...

Danke im Voraus!

Answer 1

Es ist \(b=p_1^{l_1-k_1}\cdots p_m^{l_m-k_m}\cdot a\), also \(a|b\).