Beweise mit armen und reichen Zahlen (Primfaktorzerlegung)

Question

Ich habe von meinem Mathelehrer die Folgende Aufgabe bekommen:

Echte Teiler einer natürlichen Zahl n sind alle positiven Teiler von n außer 1 und n selbst.

Primzahlen und Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler kleiner ist als die Zahl selbst, sollen
„arme Zahlen“ heißen. Zahlen, bei denen die Summe der echten Teiler größer ist als die Zahl selbst,
sollen „reiche Zahlen“ heißen. Beispiel: Alle echten Teiler von 15 sind die Zahlen 3 und 5. Wegen 3
+ 5 = 8 und 8 < 15 ist 15 eine arme Zahl.
a) Beweise: Für jede Primzahl p ist p² eine arme Zahl.
b) Beweise: Jede ganze Zahl, die durch 6 teilbar und größer als 6 ist, ist eine reiche Zahl.
c) Beweise: Es gibt unendlich viele Paare aufeinanderfolgender positiver ganzer Zahlen, bei denen
eine reich und die andere arm ist.

Aufgabe a) und b) habe ich bereits gelöst, aber bei Aufgabe c) habe ich keinen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen könnte.
In Kurzform lösung für a) ist:
Eine quadrierte Primzahl ist nur durch ihre Wurzel teilbar weil Primfaktor zerlegung
In Kurzform lösung für b) ist zu kompliziert um sie kurz darzustellen aber es läuft darauf hinaus das wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, sie auch durch 2 und 3 teilbar ist welche dann in weiteren teilbarkeiten geäußert wird, nämlich teilbarkeit durch ein drittel von sich selber, teilbarkeit durch die Hälte von sich selber und durch ein sechstel von sich selber usw... und da gibt es genug teiler welche sich dann zu über 100% addieren.

Meine Frage: wie soll ich aufgabe c) lösen? Ich habe jetzt seit 2 stunden probiert und kriege einfach keinen ansatz/lösung.

Answer 1

Hallo,

In Kurzform lösung für b) ist zu kompliziert um sie kurz darzustellen

Eigentlich nicht kompliziert. Jede durch \(6\) teilbare Zahl \(n\) hat mindestens die Teiler$$2,\,3,\,6,\,\frac n6,\, \frac n3,\,\frac n2$$und die Summe aus diesen Teilern ist bereits$$2+3+6+\frac n6+\frac n3+\frac n2 = n +11 \gt n\quad n \gt 36$$Und die Zahlen 36 und kleiner muss man noch gesondert untersuchen. Von diesen, durch 6 teilbaren Zahlen, sind aber alle reiche Zahlen.

Meine Frage: wie soll ich aufgabe c) lösen?

wenn Du bereits gezeigt hast, dass alle Zahlen, die durch 6 teilbar sind, reiche Zahlen sind und alle Primzahlen arme Zahlen, dann könnte man doch auf die Idee kommen, dass es unendlich viele Paare gibt, mit einer Primzahl und einer durch 6 teilbare Zahl.

Dazu betrachte den Rest einer Primzahl bei der Division durch 6. Da eine Primzahl \((\gt 6)\) weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist, kann der Divisionsrest doch bloss eine 1 oder eine 5 sein. Im Falle einer 1 war die vorhergehende Zahl eine durch 6 teilbare und damit reiche Zahl und im Fall einer 5 ist es die nachfolgende.

Und da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Paare von armen (prim) und reichen (durch 6 teilbaren) Zahlen.

Gruß Werner

Comments

Diese Idee hatte ich auch, aber ich fand keinen Weg, zu beweisen das es unendlich Primzahlen gibt bei denen gilt p+1 mol 6 = 0 oder p-1 mol = 0.
Kennen sie dafür einen Algorythmus um dies zu beweisen?

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Kennen sie dafür einen Algorythmus um dies zu beweisen?

Hmmm! ... ich meinte genau dies in meiner Antwort getan zu haben!

Wenn man eine beliebige Zahl durch 6 teilt und den Divisionsrest betrachtet, so kann der nur die Werte 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 annehmen. Teilst Du aber eine Primzahl, die größer ist als 6, durch 6 dann kann der Rest nicht 0 sein, da die Zahl dann durch 6 teilbar wäre, dann kann es auch nicht 2 oder 4 sein, da die Zahl dann durch 2 teilbar wäre und es kann auch nicht 3 sein, da die Zahl dann durch 3 teilbar wäre.

D.h. bei der Divsion einer Primzahl, größer 6, durch den Divisor 6 bleibt immer(!) entweder eine 1 oder 5 als Rest der Division stehen!

Wenn der Rest 1 ist, dann bedeutet dies$$ p \equiv 1 \mod 6 \implies 6\mid(p-1)$$also das Paar \((p-1)\) und \(p\) ist ein Paar aus reicher und armer Zahl.

Wenn der Divisionsrest gleich 5 ist, dann ist$$p \equiv 5 \mod 6 \implies 6\mid(p+1)$$in diesem Fall bilden \(p\) und \(p+1\) das gesuchte Paar.

Und dies ist bei JEDER Primzahl \(\gt 6\) der Fall. Und da es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es auch unendlich viele derartiger Paare.

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Hinweis: das erste Paar wäre \((11,12)\), da die \(6\) in \((6,7)\) als reiche Zahl noch ausfällt. Aber ab der \(11\) ist jede Primzahl Teil eines solchen Paares.

Answer 2

Jede Zahl die durch 6 teilbar und größer als 6 ist ist lässt sich zumindest als 2·3·z mit z > 1 schreiben. Damit sind zumindest 2, 3, z, 2·3, 2·z, 3·z die echten Teiler.

Nun gilt:

2 + 3 + z + 2·3 + 2·z + 3·z > 2·3·z
6·z + 11 > 6·z

Und damit ist die Zahl eine reiche Zahl.

c)

Du müsstest hier evtl. zeigen, das eine Primzahl oder das quadrat einer Primzahl unendlich oft neben einer durch 6 teilbaren Zahl stehen.

Alle Primzahlen haben aber die Form

p = 6·n ± 1

und damit stehen alle Primzahlen neben einer durch 6 teilbaren zahl. Und da es unendlich viele Primzahlen gibt gibt es auch unendlich viele solcher Pärchen.

Answer 3

a) Beweise: Für jede Primzahl p ist p² eine arme Zahl. b) Beweise: Jede ganze Zahl, die durch 6 teilbar und größer als 6 ist, ist eine reiche ...



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