Hallo Lara,
"Eine Bakterienkultur wächst exponentiell um 30% in 10 Stunden, wie lange braucht sie für 50%?"
Nimm mal an, das Wachstum der Bakterienkultur verhält sich wie
$$M(t) = C \cdot e^{k\cdot t}$$ warum das so ist, lass ich zunächst beiseite. \(M(t)\) ist die Masse oder Anzahl der Bakterien, diese verändert sich mit der Zeit \(t\). Das \(C\) ist eine Konstante und ebenso das \(k\). \(C\) beschreibt die Menge zum Zeitpunkt \(t=0\) - das sieht man, wenn man für \(t\) die \(0\) einsetzt.
$$M(t=0) = C \cdot e^{k\cdot 0} = C \cdot e^{0} = C \cdot 1 = C$$ Das \(k\) gibt die Geschwindigkeit des Wachstums an. Dies sieht man bei der Aufgabe. Mal angenommen es gibt irgendeinen Zeitpunkt \(t=t_1\):
$$M(t_1) = C \cdot e^{k\cdot t_1}$$
da wissen wir zunächst nicht mehr als vorher. Jetzt betrachte \(M\) nach 10 Stunden (\(t=t_1 + 10\text{h}\)):
$$M(t_1 + 10\text{h}) = C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})}$$
und Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass nun 30% mehr Bakterien da sind als zum Zeitpunkt \(t_1\) - also
$$M(t_1 + 10\text{h}) = C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = (1 + 30\%)M(t_1)= 1,3M(t_1)$$
Demnach ist
$$ C \cdot e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = 1,3 \cdot C \cdot e^{k\cdot (t_1)}$$
teile durch \(C\)
$$ e^{k\cdot (t_1 + 10\text{h})} = 1,3 \cdot e^{k\cdot (t_1)}$$
Jetzt hoffen wir, dass Du die Potenz- und Logarithmusregeln kennst ...
$$ e^{k\cdot (t_1)} \cdot e^{k\cdot (10\text{h})} = 1,3 \cdot e^{k\cdot (t_1)} \quad \left| \div e^{k\cdot (t_1)}\right.$$
$$ e^{k\cdot (10\text{h})} = 1,3 \quad \left| \ln \right.$$
$$ k\cdot (10\text{h}) = \ln(1,3) \quad \left| \div 10\text{h} \right.$$
$$ k = \ln(1,3)\frac{1}{10\text{h}} \approx 0,02624 \text{h}^{-1} $$
Wenn Du nun wissen willst, wie lange es dauert, bis die Kultur um 50% gewachsen ist, so setze \(k\) ein. Die Zeitdauer sei \(x\). Der Rechenweg derselbe wie oben:
$$M(t_1 + x) = C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} = 1,5M(t_1) $$ $$C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} =1,5 C \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)} $$ $$ e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1 + x)} =1,5 e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)} $$ $$ e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot t_1} \cdot e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x} =1,5 e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot (t_1)} $$ $$ e^{0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x} =1,5 $$ $$0,02624 \text{h}^{-1} \cdot x = \ln(1,5)$$ $$ x = \frac{\ln(1,5)} {0,02624 \text{h}^{-1}}= \frac{\ln(1,5)} {0,02624 }\text{h} \approx 15,45 \text{h} \approx 15 \text{h}27 \text{min}$$ Die weiteren Aufgabe laufen genau nach dem selben Schema. Wenn Du Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
