> Meine Idee wärs den Term zu einer geo. Reihe umzuformen, ...
Ich finde, das ist eine gute Idee.
Die geometrische Reihe startet allerdings bei 0: \(\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1-q}\).
Wenn wir deshalb \(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } }\) verwenden möchten, dann müssen wir das ursprünglich nicht vorhandene \(\frac {{ x }^{ 2*0-1 } }{ { (1+x) }^{ 0 }}\) wieder abziehen. Wegen \(\frac {{ x }^{ 2*0-1 } }{ { (1+x) }^{ 0 }} = \frac{1}{x}\) ergibt dies
\(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } } = \left(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } }\right)-\frac{1}{x}\).
jetzt müssen wir noch ddafürr sorgen, dass die Exponenten gleich sind:
\(\frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } = \frac { { x }^{ 2*n}\cdot x^{-1} }{ { (1+x) }^{ n } } = \frac { { x }^{ 2*n}}{ { (1+x) }^{ n } }\cdot \frac{1}{x} = \frac { \left(x^2\right)^{n}}{ { (1+x) }^{ n } }\cdot \frac{1}{x}=\left(\frac{x^2}{1+x}\right)^n\cdot\frac{1}{x}\)
Also ist \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } } = \left(\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left(\frac{x^2}{1+x}\right)^n\cdot\frac{1}{x}}\right)-\frac{1}{x} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x}\cdot\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \left(\frac{x^2}{1+x}\right)^n}\)
Wegen geometrische Reihe ist nun \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { x }^{ 2*n-1 } }{ { (1+x) }^{ n } } } = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1-\frac{x^2}{1+x}}\)
