Zeige, dass die umgeordnete Reihe gegen (3/2)s konvergiert.

Question

Aufgabe:

Die folgende alternierende harmonische Reihe konvergiert :

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) \( \frac{(-1)^{n+1}}{n} \) = 1- \( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{3} \)-\( \frac{1}{4} \)+\( \frac{1}{5} \)-\( \frac{1}{6} \) ± ...

den Grenzwert bezeichne man mit s. Zeige nun, dass die umgeordnete Reihe :

1+\( \frac{1}{3} \)-\( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{5} \)+\( \frac{1}{7} \)-\( \frac{1}{4} \)+\( \frac{1}{9} \)+\( \frac{1}{11} \)-\( \frac{1}{6} \) ± ...

(immer zwei positive, dann ein negativer Summand) gegen \( \frac{3}{2} \) s konvergiert.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme nicht weiter.

Answer 1

Hm,

umsortieren führt auf

\( \sum\limits_{j=0}^{∞}\left(  \frac{1}{4 \; j + 1} + \frac{1}{4 \; j + 3} + \frac{-1}{2 \; j + 2}   \right)\)

\( \small \left(\begin{array}{rrr}1&\frac{1}{3}&\frac{-1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{7}&\frac{-1}{4}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{11}&\frac{-1}{6}\\\frac{1}{13}&\frac{1}{15}&\frac{-1}{8}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{19}&\frac{-1}{10}\\\frac{1}{21}&\frac{1}{23}&\frac{-1}{12}\\\end{array}\right)_{j=0..5}\)

\( \sum\limits_{j=0}^{∞}   \frac{8j + 5}{ 32j³ + 64j² + 38j + 6}   \to \frac{3}{2} \; \ln\left(2 \right) \)