Bakterienkultur; Gültigkeit nachweisen: f(2+x)=f(2-x)

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=e^{2x-0,5x^2} 
a) Weisen sie die Gültigkeit der Beziehung f(2+x)=f(2-x) für die Funktion f nach. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Gleichung.

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Ich habe 2+x bzw. 2-x für x eingesetzt und einfach gehofft, dass das gleiche dabei rauskommt, aber einmal habe ich als Ergebnis f(2+x)=e^{-(0,5x^2)+x+2} und einmal f(2-x)=e^{-(0,5x^2)-x+2} und das ist doch nicht das gleiche?
Und die Bedeutung ist doch, dass f(x)=f(-x) ist, also dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird, oder? Kommt mir irgendwie komische vor..

Answer 1

Wir haben folgendes: $$f(2+x)=e^{2\cdot (2+x)-0.5\cdot (2+x)^2}=e^{4+2x-0.5\cdot (4+4x+x^2)}=e^{4+2x-2-2x-0.5x^2}=e^{2-0.5x^2} \\ f(2-x)=e^{2\cdot (2-x)-0.5\cdot (2-x)^2}=e^{4-2x-0.5\cdot (4-4x+x^2)}=e^{4-2x-2+2x-0.5x^2}=e^{2-0.5x^2}$$ Somit gilt die Gleichung. 

Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt $$f(x_0+x)=f(x_0-x)$$ Dabei ist x₀ die Gleichung der Achse. 

Somit ist die Funktion symmetrisch zur Achse mit der Gleichung x=2. 

Comments

Ach wie dumm, ich habe jetzt auch meinen Fehler gesehen :D

Answer 2

Die Funktion

$$ y=2x-0.5x^2 $$ist symmetrisch zur Achse \(x=2\), also trifft die zu zeigende Beziehung zu. Wo ggf. dein Fehler liegt, sehe ich noch nicht.