erst sollst du Achsenschnittpunkte bestimmen. Den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmst du, indem du x=0 einsetzt. Sprich f(0) Mit der x-Achse macht man das mit der Polynomdivision oder mit dem Taschenrechner. Bei mir an der Schule machen wir das mit dem Taschenrechner, da in SH die Polynomdivision nicht mehr unterrichtet wird.
$$f(x)=\frac{1}{6}\cdot ({x}^{3}-4x+3)\\f(0)=\frac{1}{6}\cdot ({0}^{3}-4\cdot 0+3)=\frac{1}{2}\\0=\frac{1}{6}\cdot ({x}^{3}-4x+3)\\x\approx -2,303$$
Jetzt die Extrempunkte:
notwendige Bedingung: f´(x)=0
$$Produktregel:\\f(x)=u´\cdot v+u\cdot v´\\u=\frac{1}{6}\\ u´=0\\v=x^3-4x+3\\v´=3x^2-4\\f´(x)=0\cdot (x^3-4x+3)+\frac{1}{6}\cdot (3x^2-4)=\frac{3x^2-4}{6}\\\frac{3x^2-4}{6}\\x=\pm1,15$$
Dort haben wir also Extrempunkte
hinreichende Bedingung:
$$f´´(x)=\frac{1}{6}\cdot (3x^2-4)$$
Mithilfe der Produktregel. Ich schreibe nur das Ergebnis. Kannste ja nachrechnen.
$$f`(x)=x $$
Wenn der Wert, den wir aus f(x)=0 raus bekommen haben negativ ist, sprich f`(x)<0, dann haben wir einen Hochpunkt, wenn positiv, dann einen Hochpunkt:
$$f``(1,15)=1,15>0 => Tiefpunkt\\f´´(-1,15)=-1,15<0 => Hochpunkt$$
Nun kannst du die Funktion relativ gut skizzieren, wenn du zu den Extremstellen noch die y-Koordinate ausrechnest.
Ich hoffe, dass alles richtig und verständlich ist.
Gruß
Smitty
