Teilstrecke der Höhe in einem Gleichschenkligen Dreieck?

Question

 

wer kann mir bitte behilflich sein, die Teilstrecke der Höhe in einem Gleichschenkligen Dreieck zu berechnen. (Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt ?) Siehe Anhang.

Ich interessiere mich im Besonderen für die Länge der roten Linie ? Wenn möglich einfach erklärt, da Mathematik nicht meine Stärke ist.

Comments

Hat man noch etwas anderes gegeben? Sonst kann man nur allgemeine Lösungen angeben.

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ja - die beiden Winkel an der Hypotenuse betragen 45°, aber das ist wahrscheinlich klar ...

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Nachtrag:

Die rote Line entspricht NICHT der Länge der blauen Linie !

Answer 1

die Höhe "rot plus blau" teilt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe ist dann gleich 0,5*c = 13,5.(ich habe erst die Seite b mit dem Cosinus-Satz berechnet und dann die Höhe mit dem Pythagoras). Damit ist auch die Hälfte der gelben Strecke ( = c₂) gleich der roten Strecke. Die blaue Strecke ergibt sich aus der Differenz 13,5 minus blau. Die Zeichnung hilft hoffentlich...

Comments

Hallo Silvia, 

das ist ein wahrlich eleganter Weg, ohne großen Umweg. Bravo. 

Kannst Du mir bitte erklären was das bedeutet ?  0,5*c = 13,5 (im Besonderen das *)

Gruß und einen schönen Tag. 

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Bzw. wie lang wäre denn nun tatsächlich die blaue Strecke ? Ich meine in Zahlen ausgedrückt ?

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Hallo Meta,

0,5*c heißt die Hälfte von c.

Du kannst die blaue bzw. die rote Strecke nur dann in Zahlen ausdrücken, wenn du die Länge für die gelbe Strecke gewählt hast. Davon sind dann die anderen Längen abhängig.

Ist die gelbe Strecke beispielsweise 13 cm lang, betragen die Längen von c₂ und der roten Strecke 6,5 und der blauen Strecke 7 Längeneinheiten.

Dir auch einen schönen Tag!

Silvia

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Hallo Silvia,

danke für die Antwort. Wäre es denn möglich mir eine exakte Antwort auf meine Frage zu geben ?

Wie lange ist denn nun rote Strecke ? Ich meine nicht beispielsweise, sondern konkret ?

Die Antwort, bzw. der Rechenweg wären wirklich wichtig für mich ...

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Hallo meta,

wenn die grüne Strecke die Diagonale eines Quadrats ist, und \(r\) sowohl die Seitenlänge des Quadrats als auch der Radius des Kreises ist, so ist die rote Strecke \(x\)

$$x =\sqrt{2} r - r = r\left( \sqrt{2} - 1\right)$$

Die rote Strecke ist die Differenz von Diagonale minus Seitenlänge des Quadrats. Ist nur die grüne Strecke \(s\) (die Diagonale) gegeben, so ist \(s =  r\sqrt{2}\) und damit

$$x = r\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} -  \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = s(1-\frac12 \sqrt{2})$$

Gruß Werner

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Hallo Meta,

jetzt habe ich auch den Kreis gesehen, von dem die grüne Seite eine Kreissehne darstellt. Du siehst die Längen für blau und rot in der Zeichnung. Die Berechnungen reiche ich gleich nach.

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Ich hoffe, du wirst aus meinen Berechnungen schlau. S onst melde dich einfach noch einmal.

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Hallo Silvia,

$$h = \frac{s}{2} \tan\left( \frac{\alpha}{4}\right)$$

heißt, dass hier der blaue und grüne Winkel gleich groß sind.

Bravo, hätte ich da nicht gesehen!

Gruß Werner

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Danke für die Antworten :-)

Answer 2

Ich nehme an, dass die grüne Linie des Dreicks 270cm lang ist und die rote und die blaue Linie gleich lang sind.

sin(45°)=b/270cm.       *270

sin(45°)*270≈190.92cm

Da beide Schenkel gleich lang sind a,b=190.92cm.

Der rote Teil lautet dann wie folgt:

√((( 4 * 190.92² - 270² ) / 4))/2)≈67.5cm

Liebe Grüße

Comments

Hallo Antoooooon,

danke für die Antwort. 

Die rot und die blaue Linie sind nicht gleich lang. Ich dachte das wäre deutlich ersichtlich. Andernfalls wäre es ja einfachst zu lösen ;-) 

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Anbei ein Vergleich der Strecken:

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Oh, 

dann ist es wohl eine andere Sache! ;)

Die Antwort auf den Sachverhalt ist das Kreissegment!

$$ r=\frac{s}{2 \cdot sin(\frac{α}{2})} $$$$ s=2r \cdot sin(\frac{a}{2})$$ "s" haben wir glücklicherweise schon gegeben (270cm) und α=45°, da Kreis(360°)/8Seiten=45°$$ r=\frac{270cm}{2 \cdot sin(\frac{45°}{2})} \approx 352.772cm $$ Dann die Höhe (blaue Linie):$$ Blaue Linie=r\cdot (1-cos(\frac{a}{2} ))$$$$ BlaueLinie=352.772cm\cdot (1-cos(\frac{45°}{2}) )\approx 26.853cm$$$$ h{}_{c}=\sqrt\frac{{4 \cdot a^2-c^2}}{4} $$$$ h{}_{c}=\sqrt\frac{{4 \cdot 190.92^2-270^2}}{4}\approx 135.001cm $$$$ Rotelinie=135.001cm-26.853cm=108.148cm $$

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Hallo Antoooooon,

bei allem Respekt, irgend etwas stimmt da nicht !

Mein gesunder Menschenverstand sagt mir ganz deutlich, dass das nicht so sein kann.

Denn wenn ich mir die beiden Linien (die rote und die blaue - Siehe Bild) ansehe und vergleiche, dann entspricht die rote (108.148cm) Strecke niemals annähernd der vierfachen Länge der blauen (26.853cm) Strecke ...

Das ist das Problem mit der Mathematik und der Realität, das mir immer wieder begegnet ;-)

Gruß

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Bist du dir sicher, dass die Grafik der Realität entspricht und maßstabsgetreu ist?

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Wenn sie maßstabsgetreu sind bin ich überfragt

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Guten Morgen Antoooooon,

ja, die Skizze ist maßstabsgerecht. (alles andere wäre doch nicht zielführend ?) Anhand eines CAD-Programms ließe sich das relativ einfach berechnen, bzw. konstruieren und dann ausmessen. 

Eigentlich wäre das die Art und Weise wie man trigonometrisch Land vermisst.

Ich dachte alles ließe sich - wie es immer behauptet wird -  mathematisch lösen ?

Dennoch danke für Deine Mühen :-)

Answer 3

man kann die Hypotenuse des violetten  Dreiecks berechnen: 

$$cosin(\alpha)=\frac{ankath}{Hyp}\\Hyp=\frac{ankath}{cosin(\alpha)}\\Hyp=\frac{135}{cos(45°)}\approx 190,92$$

Danach benötigen wir Formeln für den Kreisausschnitt,um die schwarze Linie zu berechnen.

Die Infos habe ich von hier. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreisbogen

$$l=2\cdot r \cdot sin(\frac{\alpha}{2})\\\alpha=45°\\r=190,2\\l=2\cdot  190,2\cdot sin(\frac{45°}{2})\approx 145,57$$ 

Da wir nun die Grüne/2 haben (135) und die Schwarze, können wir die blaue ausrechnen.

$$blaue \ Linie=\sqrt{{145,57}^{2}-{135}^{2}}\approx 54,46$$

Die rote ist dann Radius-Blaue

$$190,92-54,46=136,46$$

Ich hoffe ich konnte dir weiter helfen. Bei der Gelben muss ich noch überlegen.

Smitty

Comments

Hallo Smitty, 

das kommt dem ganzen schon näher. Danke.

Allerdings habe ich den Eindruck dass Du auch davon ausgegangen bist, dass die rote, gleich der Länger der blauen wäre ? 

Das ist leider nicht der Fall, sonst wäre es relativ einfach zu berechnen (zumindest hiermit: rechneronline.de/pi/dreieck.php)

Gruß

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Das erschließt sich mir nicht ?

Die rote ist dann Radius-Blaue
190,92−54,46=136,46 

Ist es nicht so, dass wenn die Höhe (Winkelhalbierende). die sich aus der blauen und roten Strecke ergibt - 135 entspricht, die rote Linie einfach 135 minus den von Dir errechneten ≈54,46 ausmacht ?

135 - ≈54,46 = 80,54

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Sorry, da habe ich mich vertan, natürlich ist die Rote= 135-blaue.

Achja: ich bin nicht davon ausgegangen, dass die rote=die blaue ist.

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Hmm Smitty,

was hälst du von meinem Lösungsvorschlag?

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Hallo Silvia,

ich habe eine Bitte an Dich.

Mir gelingt es nicht, die handgeschriebene Antwort von Dir (Auf dem karierten Papier) mit meiner Tastatur zu schreiben. Ich bräuchte diese jedoch richtig geschrieben um sie auszudrucken.

Könntest Du - oder auch jemand anders - das für mich kopierbar, erstellen ?

(Ich möchte dabei keinen Fehler machen, deswegen meine Frage )

Gruß

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vielleicht kann mir jemand anders behilflich sein?

Mir gelingt es nicht, die handgeschriebene Antwort von Silvia (Auf dem karierten Papier) mit meiner Tastatur zu schreiben. Ich bräuchte diese jedoch richtig geschrieben um sie auszudrucken.

Wer kann das für mich kopierbar, erstellen ?

(Ich möchte dabei keinen Fehler machen, deswegen meine Frage und )

Gruß

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Hallo meta,

Der (hoffentlich) genaue Wortlaut von Silvias Antwort lautet:

Kreissegment

Es gilt:$$h = \frac s2 \cdot \tan(0,25 \alpha)$$ \(s\) Sehne (grün)

\(h\) Höhe des Segments (blau)$$\begin{aligned} h &= \frac {270}2 \cdot \tan( 0,25 \cdot 90° ) \\ &= 135 \cdot \tan(22,5°) \\ &\approx 55,92\end{aligned}$$roter Streckenanteil \(=\) Höhe des Dreiecks \(\triangle ABC\) minus \(55,92\)$$\quad = 135 - 55,92 = 79,08 $$gelbe Strecke$$\begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{\text{Gegenkathete} = \text{rot}}{\text{Ankathete} = \frac 12 \text{gelb}} \\ \text{AK} &= \frac{\text{GK}}{\tan(\alpha)} = \frac{79,08}{\tan(45°)} = 79,08 \end{aligned}$$\(\implies\) gelbe Strecke ist \(158,16\) lang.

Zur Kontrolle (s.o. mein Kommentar von 12.Apr.2018):$$\begin{aligned} \text{gelb} &= \text{grün} \cdot \left( 2 -\sqrt 2\right) \\ &= 270 \cdot (2- 2 \sqrt 2) \\ &\approx 158,16\end{aligned}$$

Answer 4

Berechnung des Radius: Die grüne Sehne des Kreises ist 270 LE lang.

\(r=\sqrt{135^2+135^2}=135\sqrt{2}\)

\(r=\sqrt{135^2+135^2}=135\sqrt{2}\)

Kreis um M:\( x^2+y^2=36450\)

Nullstelle:

\(x=135\sqrt{2}\)  Nur der positive Wert

blaue Strecke: \(135\sqrt{2}-135=135(\sqrt{2}-1)\)

Koordinaten von B:

\( x^2+y^2=36450\)  geschnitten mit \(y=x\):

\( 2x^2=36450\)     \( x=135\)   \( y=135\)

Normale durch B:

\( \frac{y-135}{x-135}=-1 \)  Schnitt mit der x-Achse:

\( \frac{0-135}{x-135}=-1 \)

\( x=270 \)

rote Strecke: \( 270-135\sqrt{2}=135(2-\sqrt{2}) \) LE

Comments

Was soll denn der ganze Hokuspokus?

Die eine Diagonale des Quadrates hat (gegeben!) die Länge 270,

damit hat die andere Diagonale MD sofort auch diese Länge 270.

Ich musste einen Moment überlegen, was du mit "Nullstelle" meinst (schließlich hast du nicht mal eine Funktion).

Aber zum Glück bleibt deine Geschwurbel wie fast immer folgenlos, denn der Fragesteller war seit 5 Jahren nicht mehr hier.