arctan(x) = -arctan(-x) beweisen

Question

wollte mal fragen, ob dieser Weg stimmt, um zu zeigen, dass arctan(x) = -arctan(-x) gilt.

$$ -arctan(-x) = arctan(x)\qquad\qquad\qquad\quad\,| +arctan(-x)$$
$$\qquad\,0 = arctan(x) + arctan(-x) \quad\quad\qquad |\,tan(.)$$
$$tan(0) = tan(arctan(x) + arctan(-x))\quad\,\,\,\,\,|\,weil\,tan(0)=0\,ist\,also $$
$$ 0 = tan(arctan(x) + arctan(-x)) =\frac{tan(arctan(x))+tan(arctan(-x))}{1-tan(arctan(x))\cdot tan(arctan(-x))}=\frac{x+(-x)}{1-x\cdot(-x)}= \frac{x+(-x)}{1+{x}^2}=0.$$

In der letzten Zeile habe ich folgendes verwendet, um auf das Ergebnis rechts zu kommen:

$$ tan(x+y) =\frac{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)\cdot tan(y)}$$

Answer 1

Hallo (klingt lustig :-))

deine Ideen lassen sich etwas einfacher umsetzen: 

arctan(x) = - arctan(-x)   ? 

⇔ tan( arctan(x) ) = tan( - arctan(-x) ) 

⇔ x = - tan( arctan(-x) )    [ tan ist symmetrisch zum Ursprung → tan(- u) = - tan(u) ]

⇔ x = - (-x)    und das ist offensichtlich wahr

Gruß Wolfgang

Comments

Vielleicht noch zu erwähnen: Die erste Äquivalenz gilt, weil die Tangensfunktion auf  Bild(arctan)=(-pi/2,pi/2) injektiv ist.