wie kann man arctan(x) ohne Taschenrechner rechnen?

Question

habt ihr vielleicht einen Trick wie man arctan(x) ohne Tschenrechner berechnen kann ?
z.B.  arctan(3/4)

danke euch

Answer 1

Ich kann mir ein Dreieck malen mit der Grundseite von 4 cm und der Höhe von 3 cm und dann den Steigungswinkel messen. Ich komme damit auf einen Winkel von etwa 37 Grad. Das wäre jetzt die geometrische Variante. Sehr einfach und sehr schnell zu bewerkstelligen.

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Auch eine gute Idee. Für eine interaktive Variante gibt es hier zwei Tangensprogramme "Der Tangens" und "Tangens für Winkel bis 180°".

Answer 2

Du könntest vielleicht eine Näherung verwenden.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#N.C3.A4herungsweise_Berechnung

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Hier ein Verfahren zur naeherungsweisen Berechnung mit einem Taschenrechner, der keine Arcus-Tangens-Funktion hat:

1) ermittle über kubische Regression kubische Funktionen für Grad-Winkel
in Abhängigkeit von Tangens-Werten

a) [tan 45° .. tan 22.5°[       (1 .. 2^{1/2} -1)
      Beispiel: Regression mit 8 Punkten
      Beispiel: tan(Schrittweite 3° 45°..24°)
      durch die Stützstellen tan 45°, tan 42°, tan 39°, tan 36°, tan 33°, tan 30°,
        tan 27°, tan 24°
      Punkt P1(tan 45°; 45) P2(tan 42°; 42) P3(tan 39°; 39) P4(tan 36°; 36) P5(tan 33°; 33)
        P6(tan 30°; 30) P7(tan 27°; 27) P8(tan 24°; 24)
      y1 = a3 x^3 +a2 x^2 +a1 x +a0

      Beispiel: y1 = 2.649782 x^3 -23.309043 x^2 +67.187086 x -1.529225

b) [tan 22.5° .. tan 7.5°[      (2^{1/2} -1 .. 6^{1/2} +2^{1/2} -3^{1/2} -2)
      Beispiel: Regression mit 8 Punkten
      Beispiel: tan(Schrittweite 3° 21°..0°)
      durch die Stützstellen tan 21°, tan 18°, tan 15°, tan 12°, tan 9°, tan 6°,
        tan 3°, tan 0°
      Punkt Q1(tan 21°; 21) Q2(tan 18°; 18) Q3(tan 15°; 15) Q4(tan 12°; 12)
        Q5(tan 9°; 9) Q6(tan 6°; 6) Q7(tan 3°; 3), Q8(tan 0°, 0)
      y2 = b3 x^3 +b2 x^2 +b1 x +b0

      Beispiel: y2 = -14.964208 x^3 -1.270986 x^2 +57.399831 x -0.000945

c) [tan 7.5° .. tan 0°]         (6^{1/2} +2^{1/2} -3^{1/2} -2 .. 0)
      Beispiel: Regression mit 8 Punkten
      Beispiel: tan(Schrittweite 0,75° 5.25°..0°)
      durch die Stützstellen tan 5.25° tan 4.5°, tan 3.75°, tan 3°, tan 2.25°, tan 1.5°,
       tan 0.75°, tan 0°
      Punkt R1(tan 5,25°; 5,25) R2(tan 4,5°; 4,5) R3(tan 3,75°; 3,75) R4(tan 3°; 3)
        R5(tan 2,25°; 2,25) R6(tan 1,5°; 1,5) R7(tan 0,75°; 0,75) R8(tan 0°; 0)
      y3 = c3 x^3 +c2 x^2 +c1 x +c0

      Beispiel: y3 = -18.827894 x^3 -0.020506 x^2 +57.296190 x -0.000001

2) ermittle Arcus-Tangens 45 bis kleiner 90 über Ergaenzung zu 90°
und Bildung des Kehrwertes (= Cotangens-Wert) von x (= Tangens-Wert) als Argument

a) [tan 45° .. tan 67.5°[       (1 .. 2^{1/2} +1)
     y4 = 90 -y1 = -a3 1/x^3 -a2 1/x^2 -a1 1/x +90 -a0

     Beispiel: y4 = -2.649782 1/x^3 +23.309043 1/x^2 -67.187086 1/x +91.529225

b) [tan 67.5° .. tan 82.5°]     (2^{1/2} +1 .. 6^{1/2} +2^{1/2} +3^{1/2} +2)
     y5 = 90 -y2 = -b3 1/x^3 -b2 1/x^2 -b1 1/x +90 -b0

     Beispiel: y5 = 14.964208 1/x^3 +1.270986 1/x^2 -57.399831 1/x +90.000945

c) [tan 82.5 .. tan 90° [       (6^{1/2} +2^{1/2} +3^{1/2} +2 .. inf)
     y6 = 90 -y3 = -c3 1/x^3 -c2 1/x^2 -c1 1/x +90 -c0

     Beispiel: y6 = 18.827894 1/x^3 +0.020506 1/x^2 -57.296190 1/x +90.000001

3) errechne Radians-Winkel

   multipiziere die Funktionsgleichungen mit PI/180
   z1 = pi/180*y1
   z2 = pi/180*y2
   z3 = pi/180*y3
   z4 = pi/180*y4
   z5 = pi/180*y5
   z6 = pi/180*y6

Answer 3

Abschätzen von Tangenswerten / Arkustangens:

Mit arctan(3/4) bzw. anders geschrieben: tan^-1(0,75) fragst du ja nach dem Winkel α, der tan(α) = 0,75 ergibt.

per Taschenrechner: tan^-1(0,75) ≈ 36,87°

Du könntest dir die Tangenswerte einer Tabelle zur Hilfe nehmen und dann entsprechend abschätzen. Hier findest du eine Tangenstabelle bis 180°.

Der wichtigste Wert ist tan(45°) = 1, an dem du dich orientieren kannst. Das heißt, alle tan-Werte zwischen 0 und 1 sind zwischen 0° und 45° groß. Dies übrigens nur im Winkelbereich von 0° - 180°, bei größeren Winkelbereichen kommen noch die Identitäten hinzu, für tan(45°) = tan(180°+45°) = tan(225°) = 1.

Alle Tangenswerte > 1 sind damit Winkel größer 45° (und kleiner 225°).

0,75 ist kleiner als 1 also muss der Winkel unter 45° groß sein.

tan(40°) ist laut Tabelle ≈ 0,84, also weißt du, dass arctan(0,75) knapp unter 40° liegen muss.