Differentialgleichung lösen durch Substitution? x*y' +y = x^2+1

Question

Hallo :)

Ich habe Probleme mit folgender dgl:  x*y' +y = x^2+1

Ich habe es versucht durch Substitution zu lösen, aber irgendwie funktioniert das nicht....

y' = x + 1/x - y/x

  U= y/x  ⇒ y= x*u  ⇒ y' =u+ x*u'

u+ x*u' =x +1/x - u
x*u' = x+1/x -2u

Und hier komme ich nicht weiter, da ich es nicht schaffe u und x getrennt zu integrieren ....

Kann mir vielleicht jemand sagen was ich falsch mache, oder ist mein gewähltes Lösungsverfahren an sich nicht richtig?

Comments

Tipp: \(\large\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}xy=x\cdot y^\prime+y\).

Answer 1

das kann man über die homogene Gleichung und dann Ansatz für die partikuläre Lösung lösen:

homogene Gleichung:

$$ xy'+y=0\\y=-xy'\\dy/y=-dx/x\\ln(|y|)=\ln(x)+c\\y=\frac{C}{x}, C\in \mathbb{R} $$

Ansatz für die partikuläre Lösung:

$$y=Ax^2+Bx+D\\y'=2Ax+B\\x*(2Ax+B)+Ax^2+Bx+D=x^2+1\\3Ax^2+2Bx+D=x^2+1\\\text{Koeffizientenvergleich}:3A=1\to a=1/3\\B=0\\D=1\\y_p=1/3 x^2+1 $$

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Vielen Dank für deine Antwort :)

Ich habe aber noch eine kleine Frage...

oben löst du die homogene Gleichung durch Trennung der variablen, aber ich dachte immer dass ich bei einer linearen dgl 1 Ordnung den Exponentialansatz nehmen muss, das geht hier anscheinend nicht,aber warum, wenn ich doch die allgemeine Form y' + f(x)y=0

 habe? Und Trennung der Variablen nehme ich doch eigentlich nur für die allgemeine Form von y' =f(x)*g(y), oder?

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Den Exponentialansatz macht man bei linearen DGl mit mit konstanten Koeffizienten, also z.B bei 

$$ y''+2y'+1=0 $$

wenn du die homogene Gleichung nach y' umstellst hat es ja die von dir genannte Form:

$$ y'=-y*\frac{1}{x} $$

Answer 2

diese DGL kannst Du auch als exakte DGL lösen.

:-)