Extremwertaufgabe Kegel mit möglichst großem Volumen

Question

hier eine schwierige Aufgabe:

Ein Kegel soll bei einer 12cm langen Seitenkante ein möglichst großes Volumen bekommen .

mir fehlt noch eine Information damit ich was Anfangen kann ... :/
kann mir vielleicht einer dabei helfen ? :)
danke :)

Answer 1

Nun, für das Volumen V eines Kegels gilt:

V = ( 1 / 3 ) *  G  * h

wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels ist und h seine Höhe.

Bei einem Kreiskegel (um einen solchen soll es sich hier vermutlich handeln) gilt:

G = π * r ²

wobei r der Radius de Grundfläche ist. Für die Länge der Mantellinie ("Seitenkante") s findet man z.B. in einer Formelsammlung (oder überlegt es sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras):

s = √ ( h ² + r ² )

<=> s ² = h ² + r ²

<=> h = √ ( s ² - r ² )

mit s = 12 cm also:

h =  √ ( 144 - r ² )

Beide fett gesetzten Terme in die Volumenformel des Kegels (siehe oben) eingesetzt ergibt:

V ( r ) = ( 1 / 3 ) * π * r ² *  √ ( 144 - r ² )

Du sollst nun also den Radius r bestimmen, für den V ( r ) maximal wird. Schaffst du das alleine?

 

Lösung:

r = √ 96 = 9,80 cm.

h = 6,93 cm

Vmax = 696,50 cm ³

(Alle Ergebniswerte gerundet)

Comments

danke für den ansatz :) 
ja ich schaffe das schon alleine aber habe noch eine frage : 
ich habe nach r² aufgelöst ... geht ja auch .

dann kommt folgendes raus : 
V(h)= π/3 ( 144-h²) * h

wie löse ich dass dann auf ?  

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V(h) = pi/3·(144 - h^2)·h

V(h) = 48·pi·h - pi·h^3/3

V'(h) = 48·pi - pi·h^2 = 0

h = 4·√3

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Nun, mit dieser Gleichung kannst du die Höhe h bestimmen, bei der der Kegel sein maximales Volumen annimmt. Dazu setzt du die Ableitung von V ( h ) = 0 und löst nach h auf.

Über die Gleichung r = √ ( 144 - h ² ) kannst du aus der berechneten Höhe dann den entsprechenden Radius bestimmen.

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warum wird h mit beiden multipliziert ?
es stehen ja vor und hinter der klammer mal zeichen heisst das, dass das was in der klammer steht mit dem vor und mit dem hinter der klammer mal gerechnet werden muss ?

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Ja, so ist es.

Allgemein:

a * ( b + c ) * d

= ( a b + ac  ) * d  [oder auch: = a * ( b d + c d ) ]

= a b d + a c d