DGL auf Resonanz überprüfen y''+y'-2y= -6*e^x

Question

y''+y'-2y= -6*e^x

yh= c1*e^x+c2*e^-3x

Herrscht hier Resonanz oder nicht?

Answer 1

Hi,

genau. Hier herrscht Resonanz. Du hast ja im homogenen Teil ein e^x dabei. Für den partikulären Anteil musst Du dann den rechte Seite-Ansatz zu (Ax+B)e^x abändern. Dabei ist B = 0 (kannst also direkt weglassen) und wenn ich mich nicht verguckt habe, solltest Du A = -2 rausbekommen ;).

Grüße

Comments

Danke. Weißt du auch, wie ich bei der Störfunktion Sinus oder Cosinus auf Resonanz prüfen kann? Bin mir grad unsicher.

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Sobald Du im homogenen Teil Sinus und/oder Cosinus hast und auch im partikulären Teil (mit gleichem Argument!) liegt Resonanz vor ;).

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Also heißt das ja, dass wenn ich z.B: -cos(x) oder -sin(x) habe, dass da dann nie Resonanz herrscht? Meine Frage ist, ob das Vorzeichen hier entscheidend für die Resonanz ist.

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Nein.

Eher, dass wenn Du im homogenen Teil c_(1)*(cos(x) + sin(x)) hast und im inhomogenen Teil bspw 5cos(x) unterbringen sollst. Dann liegt Resonanz vor.

Für 5e^x*sin(x) oder cos(3x) etc liegt aber keine Resonanz vor. Im homogenen Teil hast Du ja ursprünglich die komplexen Lösungen λ_(1,2) = ±i und hast das in c_(1)*(cos(x) + sin(x)) umgeschrieben. Für die beiden letzten Bsp trifft das nicht zu.

Ok? Bin mal essen.

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"Eher, dass wenn Du im homogenen Teil c1*(cos(x) + sin(x)) hast und im inhomogenen Teil bspw 5cos(x) unterbringen sollst. Dann liegt Resonanz vor."

Also würde hier bei -5cos(x) auch Resonanz vorliegen?

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Genau. Das Vorzeichen ist ja egal ;).