Ableiten von sin cos bei lim k=0

Question

lim_k=0   (1- cosx)/(x sinx) = sinx/ sinx+ x cosx = cosx/ (cosx + cosx - x sinx) = 1/ (1+1) = 1/2

kann mir das bitte einer erklären warum das so ist schritt für schritt ? 

Answer 1

Du hast hier den Ausdruck 0/0 und  kannst die Regel von L'Hospital anwenden,

auch mehrmals möglich. (Leite Zähler und Nenner getrennt  ! ab)

Comments

könntest mir das näher erläutern wie ? habe grad übelst nen hänger wäre dir sehr dankbar

Answer 2

lim_k=0  :

(1- cosx)/(x sinx)  direkt geht da nichts,

weil Zähler und Nnenner gegen 0

Da wird die Regel von de Hospital benutzt

Zähler und Nenner ableiten gibt 

= sinx/ ( sinx+ x cosx )   Immer noch Typ 0 / 0 , also nochmal

= cosx/ (cosx + cosx - x sinx)

Und für x gegen 0 gibt das:

= 1/ (1+1) = 1/2

Comments

danke. ich habe ja eigentlich auch verstanden das man es so lange ableiten muss bis es nicht 0 ist aber ich verstehe den ableitungsprozess an sich nicht

die nenner beim ersten schritt  verstehe ich 1- cosx ist sinx weil 1 fällt weg und -sinx ist abgeleitet cosx aber nur halt den restr nicht

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sin(x) abgeleitet gibt cos(x) 

aber bei x*sin(x) musst du die Produktregel anwenden.

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warum wird aus x sinx abgeleitet  sinx+ x cosx zb ?

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alda schwede jetzt leuchtet es mir ein. ich bin so ein trottel. danke

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kleine Frage dennoch. Warum gehen wir explizit bis zu diesem schritt ? cosx/ (cosx + cosx - x sinx)

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Produktregel:

Ableitung von u * v ist u*v' + u'*v 

hier ist u=x  also u ' = 1 

und v= sin x also v ' = cos x und damit hast du 

u*v' + u'*v = x*cos(x) + 1*sin x 

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Warum gehen wir explizit bis zu diesem schritt ? cosx/ (cosx + cosx - x sinx)

Weil man jetzt die Grenzwertsätze anwenden kann 

cos x geht für x gegen 0 gegen 1 

und x*sin x geht gegen 0, also kannst du sozusagen die 

Einzelgrenzwert einsetzen und hast

= 1/ (1+1 - 0) = 1/2

vorher hättest du 0 / 0 gehabt, das macht keinen Sinn, bzw.

die Grenzwertsätze gelten dafür nicht.

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hätte man das nicht nochmal ableiten können ?

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Nein, weil die Voraussetzungen des Satzes von Hospital

jetzt nicht mehr erfüllt sind.