Reihe 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... Um welche Zahl handelt es sich?

Question

Aufgabe:

$$ 0,9 + 0,09 + 0,009 + \dots = \frac { 9 } { 10 } + \frac { 9 } { 100 } + \frac { 9 } { 1000 } + \ldots = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 9 } { 10 ^ { k } } $$

Um welche Zahl handelt es sich?

Answer 1

Das ist die 1.

Denn es ist die unendliche geometrische Reihe mit q= 1/10 und a₁= 9/10 

also ist der Grenzwert g= 9/10 *   1 / ( 1 - 1/10) =  (9/10 )  /   (9/10) = 1.

Answer 2

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{9/10^k}=9\sum_{k=1}^{\infty}{(1/10)^k}=9[-1+\sum_{k=0}^{\infty}{(1/10)^k}]\\=9*[-1+\frac{1}{1-1/10}]=9*[-1+10/9]=1$$

wer hätte das gedacht ;)
(Der Fehler von 0.99999999... zu 1 wird sozusagen vernachlässigbar )