Konvergenzverhalten einer Reihe. Handelt es sich um das Majorantenkriterium?

Question

Ich habe eine Frage zu einem Beispiel bei dem es um Konvergenzverhalten von folgender Reihen geht.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4 n+1)(4 n-3)}<\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \)

Unser Professor hat das Beispiel einfach so in die Folien geklatscht ohne groß zu erklären. Meine Frage ist, ob es sich hierbei um das Majorantenkriterium handelt? Rechts vom größer Zeichen ist ja die Summe der harmonischen Folge welche ja konvergent und größer 0 ist. Die Summe links davon ist ja kleiner und laut Majorantenkriterium daher auch konvergent. Liege ich da soweit richtig? Eine weitere Frage wäre, kann man da jede größere konvergente Reihe benutzen oder funktioniert das nur mit der harmonischen Reihe? Warum hat der Prof. ausgerechnet die harmonische Reihe benutzt?

Answer 1

Hi,

also:

Ja es handelt sich um das Majorantenkriterium.

Nein die Summe rechts ist nicht die "harmonische Folge" (du meinst eher harmonische Reihe, aber die ist es auch nicht).

Ja man kann eine beliebige größere konvergente Reihe nehmen.

Der Prof. hat grade diese Reihe genommen, weil die Abschätzung sehr einfach nachzuvollziehen ist.

Gruß

Answer 2

Beispiel :1/1*2  + 1 / 2*3  + 1/ 3*4  +....= 1  , denn 1/ n(n+1) =1/n - 1/n+1  !!

Damit konvergiert die Reihe ==> 1 /n² , denn das obige Beispiel ist eine konvergierende Majorante !!