Reihe auf Konvergenz überprüfen n^2/n!

Question

bräuchte Hilfe beim Berechnen der Konvergenz folgender Reihe. Hatte mir überlegt es über das Quotientenkriterium zu machen .

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { n }^{ 2 } }{ n! }  } \\ \frac { ({ n+1) }^{ 2 } }{ (n+1)! } *\frac { n! }{ { n }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 2n+1 }{ n+1 } $$

Danach scheitere ich leider schon :/

Answer 1

Hi,

du hast dich beim Quotientenkriterium verrechnet:

$$ \frac { (n+1)^2 }{ (n+1)! }*\frac {  n!}{ n^2}=\frac { n+1 }{ n^2 } $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac  { n+1 }{ n^2 } = 0 < 1 $$

Die Reihe konvergiert.

Comments

wie genau kommst du darauf?

Also wenn ich den Zähler ausschreibe habe ich ja : n²+2n+1 und da streicht sich ja das n² weg

Und im Nenner hab ich raus : n!*(n+1) und da kürzt sich ja das n!

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$$ \frac { (n+1)^2 }{ n^2 }\frac { n! }{ (n+1)! }=\frac { (n+1)^2 }{ n^2 }\frac { n! }{ (n+1)n! }=\frac { (n+1)^2 }{ (n+1)*n^2 }=\frac { (n+1)*(n+1) }{ (n+1)*n^2 }=\frac { (n+1) }{ n^2 }$$

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Vielen Dank für die genaue Erklärung! :)