Konvergenzverhalten von Reihe zu a_n = n/ (n^2 -3n + 5) mit Quotientenkriterium

Question

Gegeben:

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} a_{n} \)

\( a_{n}=\frac{n}{n^{2}-3 n+5} \)

Ich habe diese Aufgabe bereits mit dem Minoratenkriterium gelöst. Die Reihe ist divergent.

Soll aber auch mit Quotientenkriterium lösbar sein. Aber wie?

Ich bleibe nach dem Anwenden immer auf einem riesen Term sitzen, den ich nicht vereinfachen kann.

Habe es nochmal gerechnet und komme dann schließlich durch Häuptlinge eliminieren auf 1/1 = 1

Das bringt aber nichts, weil wenn 1 raus kommt, kann man ja keine genaueren Aussagen treffen, oder?

Answer 1

Ich nehme an, du hast etwa die harmonische Reihe als divergente Minorante. Daher Divergenz.

so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt dagegen für fast alle \( n \in \mathbb{N} \)
\( \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| \geq 1 \)
so ist die Reihe divergent.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Mit 1/1 = 1 als Grenzwert von |a_n+1 / a_n | hast du ja auch Divergenz.

Comments

Daraus kann man i.a. nicht Divergenz folgern. Gegenbeispiel: \(a_n=\dfrac1{n^2}\).

---

@hj19: Ich habe die entsprechende Stelle aus Wikipedia eingefügt. Was ist genau nicht erfüllt bei unserem Beispiel?

---

Für kein \(n>1\) gilt hier \(\left\vert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\geq1\).

---

ok. Danke.

Da hast du nun Recht. Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=n%2F+%28n%5E2+-3n+%2B+5%29+%3C+%28n%2B1%29%2F%28%28n%2B1%29%5E2+-+3%28n%2B1%29+%2B+5%29

Somit klappt nun wohl nur das Minorantenkriterium.

---

Ja, habe harmonische Reihe als Minorante genommen.


Aber mit dem Quotientenkr. komme ich halt auf 1. Und damit kann man keine genauen Aussagen treffen.