Guten Nachmittag, Leute!
Ich bearbeite seit einer Weile folgende Aufgabe, ohne durch Umformungen auf die Lösung zu kommen.
Die Aufgabe lautet:
Bei der a) habe ich erst mal für die Folge $${ (a }_{ n })\quad =\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } } $$
das Quotientenkriterium verwendet.
Dann erhalte ich:
$$lim\quad ->\quad \infty \quad \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\quad \quad \quad \frac { \frac { 1 }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad } } }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } } } \quad =\quad \frac { 1 }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad } } \quad *\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ 1 } \quad \\ \\ =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad +\quad { (-1) }^{ (n+1) }\quad } } \quad =\quad \quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad \quad \quad }*\quad { 3 }^{ { (-1) }^{ (n+1) } } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ { 3 }^{ (n+1)\quad \quad \quad }*\quad { 3 }^{ (-n\quad -\quad 1) } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ { 3 }^{ (n+1\quad -n\quad -1)\quad \quad \quad } } \\ \\ =\quad \frac { { 3 }^{ n\quad +\quad { (-1) }^{ n }\quad } }{ { 3 } } \quad =\quad \frac { { 3 }^{ n } }{ 3 } \quad +\quad \frac { { 3 }^{ { (-1) }^{ n } } }{ 3 } \quad =\quad { 3 }^{ n-1 }\quad +\quad { 3 }^{ { (-1 }^{ n })\quad -\quad 1 }\quad $$
Ab hier komme ich irgendwie nicht mehr weiter... Weiß nicht, wie ich das noch umformen kann, dass man daraus eine Aussage ableiten kann... kann man mittels Quotientenkriterium wirklich eine Aussage über das Konvergenzverhalten dieser reihe machen ?
Und wie kann man bei der b) den Grenzwert bestimmen? Durch einfaches ausmultiplizieren geht es schlecht. Durch Majoranten und Minorantenkriterium habe ich es auch nicht geschafft, weil ich keine passende Majorante bzw. Minorante kenne...
Kann mir da jemand helfen?
Ich bedanke mich schon im Voraus!
Mfg
Domenik
