Berechnen von Koordinaten mithilfe von Vektoren

Question

Ich bereite mich mit den Abituraufgaben von 2012 vor und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Ein Turm, der auf ebenem Gelände steht, hat die Form eines Quaders mit quadratischer

Grundfläche. Ihm ist als Dach eine gerade quadratische Pyramide aufgesetzt.
Die Eckpunkte der Grundfläche des Turmes sind mit A(  0|0|0) , B(  0|0|6) , C(  0|6|6) und
D(  0|6|0) gegeben (1 LE = 1 m).
a) Die Turmspitze S befindet sich in 16 m Höhe über der Grundfläche. Der Eckpunkt E des
Dachbodens liegt auf der Geraden g: x = (6/9/16)+s(3/4,5/3) genau über dem Punkt A.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S und E. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte
F, G und H des Dachbodens an, wobei F über B, G über C und H über D liegt.
[Kontrollergebnis: E( 10|0|0) ]

Um E zu berechnen, habe ich die Ebenengleichung der Ebene, welche durch die angegeben Punkte aufgespannt wird, aufgestellt, die Geradengleichung in die Normalform eingesetzt und s berechnet. Das Kontrollergebnis zeigt, dass s -2 sein müsste, aber das bekomme ich nicht raus. Ist mein Ansatz falsch, oder habe ich mich verrechnet? Und wie berechne ich den Punkt S?

Comments

Der Abstand zwischen Punkt A und der Geraden müsste auch hilfreich sein, oder?

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"Der Abstand zwischen Punkt A und der Geraden müsste auch hilfreich sein, oder?" Nö - schau Dir das ganze mal in 3D an und überlege dann, was zu tun ist:

(klick auf das Bild und bewege die Szene mit der Maus)

Answer 1

> Der Eckpunkt E des Dachbodens liegt ... genau über dem Punkt A.

Weil A die Koodinaten (0|0|0) hat, hat E die Koordinaten (0 | 0 | z).

> ... auf der Geraden g: x = (6/9/16)+s(3/4,5/3) ...

Also (0/0/z) = (6/9/16)+s(3/4,5/3).

In ein Gleichungssystem umwandeln und Lösen.

> Ein Turm, der auf ebenem Gelände steht, hat die Form eines Quaders

Also ist der Dachboden parallel zur Grundfläche.

> Grundfläche des Turmes sind mit A(  0|0|0) , B(  0|0|6) , C(  0|6|6) und
D(  0|6|0)

Also ist die Grundfläche des Turmes parallel zur xy-Ebene. Also ist auch der Dachboden parallel zur xy-Ebene.

> wobei F über B, G über C und H über D liegt.

x-y und y-Koordinaten der Dachbodenecken können also direkt aus den entsprechenden Punkten der Grundfläche übernommen werden. Die z-Kooridnate kann von E übernommen werden.