Vektoren. Punkt A an g spiegeln und Koordinaten von A' bestimmen

Question

Abstand des Punkte A(3|2|-2) zur Geraden g: X = (2|1|1) + k(0|1|1) beträgt 3 LE. Spiegeln Sie den Punkt A an der Geraden g und geben Sie die Koordinaten des gespiegelten Punktes an.

Bitte eine Ausführliche Lösungsweg.

Answer 1

Abstand des Punkte A(3|2|-2) zur Geraden g: X = (2|1|1) + k(0|1|1) beträgt 3 LE.

Aus dieser Information kannst du den Spiegelungspunkt bereits berechnen.

d = 3 = √(((2-3)^2 + (1+k-2)^2 + (1+k-(-2))^2

d^2 = 9 = 1^2 + (k-1)^2 + (k+3)^2

9 = 1 + k^2 - 2k + 1 + k^2 + 6k + 9

0 = 2k^2 + 4k + 2

0 = k^2 + 2k + 1   | Binom erkennen. Quadratische Gleichung mit nur einer Lösung!

0 = (k+1)^2   |

==> k = -1 . Abstand 3 stimmt und Spiegelungspunkt P ist gefunden!

OP = X = (2|1|1) - (0|1|1) = (2|0|0).

P(2|0|0)

Spiegeln Sie den Punkt A an der Geraden g und geben Sie die Koordinaten des gespiegelten Punktes an. A(3|2|-2)

OA' = OP + AP = (2|0|0) + (2-3|0-2|0-(-2))

= (2|0|0) + (-1|-2|2) = (1|-2|2)

A'(1|-2|2)

Bitte selber nachrechnen!

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=kugel(3%7C2%7C-2%203)%23%0Apunkt(3%7C2%7C-2%20%22A%22)%0Agerade(2%7C1%7C1%202%7C3%7C3%20%22g%22)%0Apunkt(2%7C0%7C0%20%22P%22)%0Apunkt(1%7C-2%7C2%20%22A'%22)%0Avektor(3%7C2%7C-2%20-1%7C-2%7C2)%0Avektor(2%7C0%7C0%20-1%7C-2%7C2)%0AA(3%7C2%7C-2)%20zur%20Geraden%20g%3A%20X%20%3D%20(2%7C1%7C1)%20%2B%20k(0%7C1%7C1)%20betr%C3%A4gt%203%20LE

Wenn du die Skizze drehst, siehst du, dass P auf der Oberfläche der Kugel um A mit Radius 2 sein könnte und die Gerade g eine Tangente an die Kugel ist.

Eingabe:

Comments

A' sollte nicht gleich A sein. AP ist P - A und nicht A - P.

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Wo meinst du genau?

AP = PA' 

Oh. Ich sehe, was du meinst, ich habe zur Frage nochmals  A(3|2|-2)  kopiert, um dann A' bequem ausrechnen zu können. 

Answer 2

Hallo Farhan, du musst zuerst das Lot des Punktes A auf die Gerade bestimmen.  Hierzu bildest du eine Hilfsebene, die senkrecht auf die Gerade steht, also den Normalenvektor (0/1/1) hat, und durch den Punkt A geht.  Dann schneidest du die Gerade mit der Ebene, gibt den Lotfußpunkt F.  Dann spiegelst du A an F.  Alles klar?

Answer 3

Der Punkt A(3 | 2 | -2) soll an der Geraden g: X = [2, 1, 1] + t * [0, 1, 1] gespiegelt werden.

Spiegelpunkt auf der Geraden bestimmen

([2, 1, 1] + t * [0, 1, 1] - [3, 2, -2]) * [0, 1, 1] = 0 --> t = -1

Damit ist der Ortsvektor des Spiegelpunktes

S = [2, 1, 1] + (-1) * [0, 1, 1] = [2, 0, 0]

Jetzt den Punkt A am Punkt S spiegeln.

A' = [3, 2, -2] + 2 * ([2, 0, 0] - [3, 2, -2]) = [1, -2, 2]