Spiegeln von vektoren Nr.4

Question

Die Nr 4 bitte.

Freundliche Grüsse 

Immai

Comments

Hm... studierst du nicht Mathematik? Das ist ein Auszug aus einem Schulbuch...

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Richtig :)

Ich war nur bei einer sache nicht sicher

Deswegen die frage.

Wollte nur einen schüler helfen

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Hallo Immai. Wenn du das nach Anleitung machst, dann prüfe mal bitte ob meine Geraden richtig sind. Bzw. wenn du etwas anderes heraus hast melde dich gerne mal.

ga: X = [-4, 2, -3] + r·[1, -5, 2]

gb: X = [-4, 2, -3] + r·[- 10/7, 29/7, - 23/7]

gc: X = [-4, 2, -3] + r·[5, -1, 2]

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 Vielen Dank mathecouch

Ist richtig :)

Und auch Werner hatte es mit gerechnet ^^

Answer 1

Hallo immai, (lange nicht gesehen)

a) ist einfach; negiere einfach die Punkte und bestimme die Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte

$$g': \space x = \begin{pmatrix} -4\\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} -3\\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4\\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right)=\begin{pmatrix} -4\\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$$

b) Die Spiegelebene hat den Vorteil, dass der Aufpunkt \(a_G\) von \(g\) in dieser Ebene liegt. Daher muss nur der Richtungsvektor \(r_G\) der Geraden \(g\) gespiegelt werden. Dazu normiere ich noch den Normalenvektor der Ebene und nennen ihn \(s\).

$$s = \frac{1}{14}\sqrt{14}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Der gespiegelte Richtungsvektor \(r_G'\) ist dann

$$r_G' = r_G - 2(r_G \cdot s) s =  \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} - \frac{3}{7} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} -10\\ 29 \\ -23 \end{pmatrix}$$

und die gespiegelte Gerade

$$g': \space x= \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}  + t \frac{1}{7}\begin{pmatrix} -10\\ 29 \\ -23 \end{pmatrix}$$

.. wobei man das \(1/7\) auch weg lasen könnte; es geht ja nur um die Richtung

c) ist etwas schwieriger. Der Vorteil dabei ist, dass beide Aufpunkte der beiden Geraden identisch sind. D.h. der Aufpunkt von \(g\) ist auch sein Spiegelbild. Man muss also nur den Richtungsvektor spiegeln. Die Ausgangsgleichung ist

$$g: \space x = a_G + r_G= \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} +  t \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Den Richtungsvektor der Spiegelgeraden \(h\) nenne ich \(r_S\). Nun berechne ich einen Vektor \(s\), der in der Ebene von \(r_S\) und \(r_G\) liegt und senkrecht auf \(r_S\) steht und normiere ihn. Es ist

$$s = \text{unit}(r_S \times r_G \times r_S ) = \frac{\sqrt{20}}{20} \begin{pmatrix} -3\\ 3\\ -2\end{pmatrix}$$

ab jetzt geht es wie bei der Ebene weiter.

$$r_G' = r_G - 2(s \cdot r_G) s = \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -6\\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

.. und das Bild \(g'\) ist in Fall c):

$$g': \space x = \begin{pmatrix} 4\\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 5\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

.. so hoffen wir mal, dass ich mich nicht verrechnet habe ;-)

Falls Du noch Fragen hast, nur heraus damit.

Gruß Werner

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Hi :)

Freut mich wieder dabei zu sein.

War viel los :)

Vielen Dank

Das hat uns geholfen.

Ich bin echt raus von vektor schul mathe :)

Mein lieblings bereich ist und bleibt die

Analysis :)

Answer 2

a) Wenn du am Ursprung spiegelst, wird aus A der Punkt A ' ( -4 ; 2 ; -3 ) und 

aus B wird B ' ( -3 ; -3 ; -1 ) 

b) Der Punkt A liegt in der Ebene. Der bleibt beim Spiegeln fest.

Und B spiegelst du, in dem du das Lot von B auf die Ebene mit der 

Ebene schneidest.

                                                                 3                1
Das Lot hat die Gleichung   L :  x =          3     + t *    2
                                                                 1                 3

Du rechnest das t für den Schnittpunkt aus und setzt dann davon das

Doppelte in die Gleichung von L ein und hast damit B ' 

c) Die Gerade geht durch A . Lege ein Ebene E durch B mit dem Normalenvektor

von h. Schneide E mit h und du hast den Fußpunkt F des Lotes von B auf h.

Dann ist BB ' = 2 * BF . Damit bestimmst du B ' .

Answer 3

a) ändere alle Vorzeichen der Koordinaten von A und B. Das sind die gespiegelten Punkte A' und B'. 

Nun eine Parametergleichung für die Gerade (A' B') angeben. 

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Danke Lu :)             

Answer 4

Lösung

AB = [-1, 5, -2]

g: X = [4, -2, 3] + r·[-1, 5, -2]

a) am Ursprung,

A' = [-4, 2, -3] ; B' = [-3, -3, -1]

g': X = [-4, 2, -3] + r·[1, -5, 2]

b) an der Ebene E: (X - [4, -2, 3])·[1, 2, 3] = 0

[-1, 5, -2]·[1, 2, 3]/([1, 2, 3]·[1, 2, 3])·[1, 2, 3] = [3/14, 3/7, 9/14]

[-1, 5, -2] - 2·[3/14, 3/7, 9/14] = [- 10/7, 29/7, - 23/7]

g': X = [-4, 2, -3] + r·[- 10/7, 29/7, - 23/7]

c) an der Geraden h: X = [4, -2, 3] + r·[1, 1, 0]

[-1, 5, -2]·[1, 1, 0]/([1, 1, 0]·[1, 1, 0])·[1, 1, 0] = [2, 2, 0]

[2, 2, 0] - ([-1, 5, -2] - [2, 2, 0]) = [5, -1, 2]

g': X = [-4, 2, -3] + r·[5, -1, 2]

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Vielen vielen Dank für die ausführliche antwort.

Können es jetzt detaliert nach prüfen.