Für welchen Punkt ist Ursprungsgerade gleich Kurvennormale?

Question

Wir betrachten nun die Scharfunktion f1(x) = (x + 1) • e^{-x}

Zeigen Sie: Für einen Punkt P (z | f1(z)) mit z > 0 ist die Ursprungsgerade durch P zugleich Kurvennormale von f1,

wenn die Bedingung e^2z = z + 1 gilt.

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Vom Duplikat:

Titel: Nr.7f) Funktionsschar. f1(x) = (x+1)*e^{-x}. Ursprungsgerade und Kurvennormale ?

Stichworte: ursprungsgerade,kurvennormale,abitur,gleichung,e-funktion,funktionenschar

Guten Tag ich brauche Hilfe bei der Aufgabe Nr.7f)

Answer 1

f₁(x) = (x+1)*e^-x    f₁ ^' (x) = (x+1)*e^-x   = - x *e^-x  

Also hat die Normale die Steigung m = 1 /(z *e^-z  )

und geht durch P(   z ;   (z+1)*e^-z   )

In die Geradengleichung y = m*x + b  eingesetzt  gibt es 

  (z+1)*e^-z   =   1 /(z *e^-z  )  * z  + b

und wegen Ursprungsgerade muss b=0 sein

  (z+1)*e^-z   =   1 /(z *e^-z  )  * z 

<==>   (z+1)*e^-z   =   1 /e^-z  )  = e^z     | : e^-z   

<==>   z+1   = e^2z     Bingo!



                    

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Danke :)

Könntest du mir noch mal erklären wie du die Steigung berechnet hast? Danke.

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Steigung der Tangente ist f ' (z) .

Da die Normale senkrecht auf der

Tangente steht, hat sie die Steigung  - 1 / f ' (z) .