Anwendungsaufgabe zur e-Funktion!

Question

Jeden winter zieht es viele wintersportfreunde mit ski und snowboard an die kleinen und großen skihänge der wintersportgebiete im erzgebirge.

Teil des Graphen der Funktion f mit f(x)= e^{1/6*x-2}*(7/2-1/8 *x )+5

Beschreibung der profillinie einer skipiste zwischen den punkten A und B(0;f(0)) verwendet werden. Die Funtionswerte geben die jeweilige Höhe über dem meeresspiegel an.

Der punkt A auf dem Graphen der Funktion f liegt so, dass seine y-koordinate der größtmögliche Höhe über dem meeresspiegel (-> Maximum)entspricht. eine einheit entspricht 100m.

1.1 Ermitteln sie die koordinaten der punkte A und B.
Geben sie den definitionsbereich der Funktion f so an, dass nur der Verlauf der profillinie der skipiste beschrieben wird. geben sie die höhendifferenz an.

1.2 Ein skifahrer fährt entlang der profillinie der skipiste vom punkt A zum Punkt B. Beschrieben sie den verlauf des anstieges der skipiste auf dieser fahrt.
Bestmmen sie die durchschnittliche Hangneigung der profillinie zwischen den Punkten A und B in prozent.Hinweis: Eine Hnagneigung von z.B. 40 % bedeutet dass bei einer horizontalen entfernung von 100m ein höhenunterschied von 40m existiert.
Zur Charakterisierung von Skipisten nutzt man nicht die durchschnittliche sondern die maximala hangneigung.

begründen sie dass dieses Vorgehen sinnvoll ist.
Entsprechend der maximalen Neigung eines hanges unterscheidet man drei schwierigkeitsgrade von skipisten:

blau: leicht (für anfänger) mit einer maximalen neigung unter 25 %
rot:mittelschwer mit einer maximalen neigung von 25%-40%
schwarz: anspruchsvoll (nur für könner) mit einer maximalen neigung über 40%
Ermitteln sie den schwierigkeitsgrad der skipiste zwischen Punkt A und B.

1.3 Für ein Computerprogramm soll die profillinie der skipiste durch die funktion f index a;b mit fa;b(x)= e^{1/6*x-2}*(7/2-a*x)+b (a,b element von R; a,b > 0; x element D) simuliert werden.

die funktionswerte geben die jeweilige höhe über dem meeresspiegel an. die profillinie der skipiste liegt zwischen den punkten Pa;b und Qa;b(0/fa;b(0)). Der punkt Pa;b ist der lokale extrempunkt der funktion fa;b.
eien einheit entspricht 100m

erläutern sie welche bedeutung der parameter b bei der simulation der skipiste besitzt.
Ermitteln sie die werte der parameter a und b so dass die bedingungen I. und II. erfüllt sind.

I. Der Punkt Qa;b liegt genau 300 m über dem meeresspiegel.

II. Die Abzisse des Punktes in dem die profillinie die maximlae neigung besitzt beträgt 200m.  

Mein Ansatz:

A(22/8,97) B(0/5,47) 

Hohendifferenz 3,5 mal 100 = 350 m

Comments

Wie soll deine Funktion lauten

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Ja, nur dass nach der 5 ein Plus steht.

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Hallo Fedel,
mein Matheprogramm macht leider aus
f ( x )= e ^{1/6*x-2}  * (7/2 -1/8 *x ) +5
f ( x ) = minus e ^{1/6*x-2}  * (1/8 *x minus 7/2) +5

Es ist dieselbe Funktion.

Answer 1

A(22/8,97) B(0/5,47)  


Hohendifferenz 3,5 mal 100 = 350 m

Soweit hab ich das auch.

Vielleicht hilft der Graph schon weiter:

~plot~  e^{1/6*x-2}*(7/2-1/8 *x )+5 ;[[0|22|0|10]] ~plot~

Durchschnittliche Hangneigung:

350 m / 2200m = 0,159 = 15,9%

größte und kleinste Hangneigung immer an den Wendepunkten:

f ' ' (x) = 0  ist hier erfüllt für x=16 

Dort gilt f ' (16) = 0,24 = 24%, also blaue Piste

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Danke, habe ich auch...

Wie mache ich die 1.3?

Answer 2

(22/8,97) B(0/5,47) 
Hohendifferenz 3,5 mal 100 = 350 m
auf 2200 - 0 = 2200 m
350 / 2200 = 0.159 entspricht 15.9 % = 9.04 °

Die steilste Stelle ist am Wendepunkt
( 2.Ableitung bilden ) bei
x = 16

Die Steigung an diesem Punkt ist
0.243 entspricht 24.3 %

1.3
fa;b ( x ) = e ^{1/6*x-2} * (7/2-a*x) + b

I. Der Punkt Qa;b liegt genau 300 m über dem meeresspiegel.

fa;b ( 0 ) = e ^{1/6*x-2} * (7/2-a*x) + b = 300

II. Die Abzisse des Punktes in dem die profillinie die maximlae neigung besitzt beträgt 200m. 

Lösung mit Matheprogramm

 

g muß laut Aufgabenstellung f sein.

g
1.Ableitung
2.Ableitung
g ( 0 ) = 3 ( 300 m)
g ´´ (2) = 0 
Berechnung b
Berechnung a
g

Comments

Danke 

1.1 und 1.2 habe ich richtig

Wie mache ich 1.3 ohne Matheprogramm? Ich habe einen CAS Rechner...

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Du setzt den Punkt ( 0 | 3 ) in die erste Ableitung ein
und den Punkt ( 2 | 0 ) in die zweite Ableitung ein
und beginnst zu rechnen.