Vektorenrechnung Abstand zwischen Punkt und Geraden in 2D

Question

In der x-y-Ebene liegen die Punkte A = (9; 4); B = (- 4; 1); C = (- 5;- 6); D = (5;-8)

Frage lautet:

Berechnen Sie den Abstand des Punktes A von der Geraden durch B und C und die
Koordinaten des Fußpunkts des Lotes von A auf BC.

Als Lösung angegeben ist:

d= |((BA * n) / |n|)|

Vektor n = (-7;1)^T 

d= |88 / √50|

Fußpunkt F= A - (BA *n*n ) / (|n|*|n|) = (9;4)^T *(88/50) (-7;1)^T  = (1/50) (-166/288)^T

Könntet ihr mir die Lösungsschritte etwas kommentieren, sodass man die Lösung auch besser nachvollziehen kann? Wie kommt man z.B. auf den Normalenvektor n? Wie kommt man auf die Wurzel 50. Und Warum wird beim Fußpunkt der Normalvektor mit sich selbst Multipliziert?

Answer 1

Hallo Martin, 

im ℝ² beträgt der Abstand d des Punktes A von der Geraden  g_BC:  \(\vec{x}\)  =  \(\vec{b}\) +  r • \(\vec{u}\) 

$$  d =\frac {|(\vec{a} -\vec{b})·\vec{n}|}{|\vec{n}| } $$

Bei dir ist \(\vec{u}\)  =  \(\overrightarrow{BC}\) =  \(\vec{c}\)  -  \(\vec{b}\)  =  (-1 , -7)^T 

Ein Normalenvekor \(\vec{n}\)  steht auf \(\vec{u}\) senkrecht, also muss \(\vec{u}\) · \(\vec{n}\) = 0 gelten:

(-1 , -7)^T · (-7 , 1)^T  = 0  →  man kann \(\vec{n}\)  =  (-7 , 1)^T nehmen.

Für den Betrag eines Vektors gilt: |(x , y)^T| = √( x² + y² )  →  | (-7 , 1)^T | = √50

Jetzt kannst du in die Formel für d einsetzen und erhältst d = 88 / √50

Die Formel für den Ortsvektor \(\vec{f}\) des Lotfußpunkts F   $$ \vec{f} = \vec{a} - \frac {  (\vec{a} - \vec{b})· \vec{n} · \vec{n}   }{ |\vec{n}|^2 }$$  erhält man als Schnittpunkt der Lotgeraden  \(\vec{x}\) = \(\vec{a}\) + s • \(\vec{n}\)  mit der gegebenen Geraden g.

Normalerweise rechnet man aber nicht mit dieser Formel. Man setzt die Vektoren in die Lotgerade und in g ein und berechnet den Lotfußpunkt mit Zahlen! 

Gruß Wolfgang