Berechnung Abstand zwischen Punkt und Gerade

Question

Aufgabe:

Ich muss den Abstand zwischen dem Punkt P und der Gerade G berechnen:

\( P=(1,-1,2) \) und \( G=\left\{\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=0 \text { und } x-2 y+z=5\right\} \)

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich aus diesen Termen eine Geradengleichung machen soll.

Answer 1

Das was mir am meisten Probleme macht ist die ungewöhnliche Definition der Geraden, aber nunja.

Es gilt

x + y = 0 --> y = -x

und

x - 2y + z = 5

x - 2(-x) + z = 5 --> z = 5 - 3·x

Damit ist die Gerade

[x, -x, 5 - 3·x] oder

g: X = [0, 0, 5] + r * [1, -1, -3]

Jetzt sieht man schon das P auf der Geraden liegt. Aber wir wollen trotzdem mal den Abstand bestimmen.

Abstand von P zu dieser Geraden ist jetzt

d = ABS(([1, -1, 2] - [0, 0, 5]) ⨯ [1, -1, -3]) / ABS([1, -1, -3]) = 0