Abstand Punkt-Gerade berechnen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gerade g: x = (4|4|6) + t * (1|1|0) parallel zur Ebene E: -6x1 + 6x2 + 7x3 = 9 ist und berechnen Sie den Abstand der Geraden g zur Ebene E.

Problem/Ansatz:

Die Ebene E ist bereits gegeben. Also kann man daraus den Normalenvektor n bilden. Der ist n = (-6|6|7).

Danach habe ich g in E eingesetzt und bin am Ende auf 42 = 9 gekommen. Kein Ergebnis, also heißt das, dass g parallel zu E ist.

Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Ich muss den Abstand der Geraden g zur Ebene E berechnen.

(Keine Ahnung, ob das hier vorkommt, aber die Hessesche Normalform benutzen wir nicht.)

Answer 1

[1, 1, 0] * [- 6, 6, 7] = 0 → Damit ist die Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene und damit echt oder unecht parallel zur Ebene.

Abstandsformel Punkt-Ebene
d = |- 6·x + 6·y + 7·z - 9| / √(6^2 + 6^2 + 7^2)
d = |- 6·(4) + 6·(4) + 7·(6) - 9| / √(6^2 + 6^2 + 7^2) = 3

Alternativ über den Lotfußpunkt

Lotgerade: X = [4, 4, 6] + r·[-6, 6, 7]

Lotgerade in Ebene einsetzen
- 6·(4 - 6·r) + 6·(4 + 6·r) + 7·(6 + 7·r) = 9 → r = - 3/11

Abstand
d = 3/11·|[-6, 6, 7]| = 3

Answer 2

Da der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden das Skalarprodukt 0 haben, ist die Gerade parallel zu Ebene.

Statt den Abstand der Geraden zur Ebene zu bestimmen solltest du den Abstand von P(4|4|6) zur Ebene bestimmen. Bestimme zunächst den Schnittpunkt S von \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\4\\6 \end{pmatrix} \) +k·\( \begin{pmatrix} -6\\6\\7 \end{pmatrix} \) mit der Ebene und dann die Länge von \( \vec{PS} \).