Rekonstruktion Funktion 4. Grades mit Tangente

Question

Gesucht Funktion 4. Grades.

Hinweis 1: Achsensymmetrie zur y- Achse

Hinweis 2: Sie hat in W (1/0) einen Wendepunkt

Hinweis 3: Sie wird begleitet von einer Tangente in W mit der Gleichung y = -2x + 2

Grundform / f(x) = a*x⁴ + b*x² + c wegen Achsensymmetrie

1. Ableitung / f'(x) = 4a*x³ + 2b*x

2. Ableitung / f''(x) = 12a*x² + 2b

3. Ableitung / f'''(0) = 24a*x

Damit bekomme ich 3 Unbekannte (a, b, c) und benötige 3 Gleichungen um auf eine Lösung zu kommen.

Gl.1 / Punkt W (1/0) im Grundform einsetzen - ergibt: a + b + c = 0

Gl.2 / Bedingung für Wendepunkt f'(x) = 0 - ergibt: 12a + 2b = 0

Jetzt fehlt mir noch die 3. Gleichung. Habe versucht die Tangentengleichung einzusetzen - war nix. 

Was habe ich übersehen? Welchen Hinweis gibt mir die Tangentengleichung?

Vielen Dank

Answer 1

Hi,

das sieht doch soweit alles sehr gut aus :).

Die Tangente liegt an W an. Damit gibt sie die Steigung im Punkt W an.

Füge also noch f'(1) = -2 hinzu.

Zur Kontrolle:

f(x) = 0,25x^4 - 1,5x^2 + 1,25

Du kommst auf dasselbe?

Grüße

Comments

Ja bestens. 

Also setze ich die Tangentensteigung m = -2 in die 1. Ableitung ein.

Vielen Dank für die Hilfe.

---

Genau so ist es :).

Gerne

Answer 2

Hallo Lutz,

die dritte Bedingung ist die, dass im Punkt \(W=(1|0)\) die Steigung =-2 ist. Die Steigung der Funktion soll hier identisch zur Steigung der Geraden sein - da Tangente. Bzw.

$$f'(x=1)=4a \cdot 1^3 + 2b \cdot 1 = -2$$

~plot~ (0.25x^2 -1.5)x^2+1.25;-2x+2;{1|0} ~plot~

Comments

Super. Sehr ausführlich erklärt.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 3

Gesucht Funktion 4. Grades. Achsensymmetrie zur y- Achse. Sie hat in \(W_1 (1|0)\) einen Wendepunkt.
Tangente in W mit der Gleichung y = -2x + 2

 \(W_1(1|0)\) einen Wendepunkt. Auf Grund der Achsensymmetrie:  \(W_2(-1|0)\)

Linearfaktorenform:

\(f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)=a(x^2-1)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)\)

\(f'(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)\)

\(f''(x)=a(12x^2-2N^2-2)\)

Wendepunkteigenschaft : \(W_1 (1|...)\):

\(f''(1)=a(12-2N^2-2)=a(10-2N^2)=0\)

\(N^2=5\):

\(f'(x)=a(4x^3-10x-2x)=a(4x^3-12x)\)

Tangente in W mit der Gleichung \(y = -2x + 2\)

\(f'(1)=a(4-12)=-8a=-2\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}(x^4-5x^2-x^2+5)=\frac{1}{4}(x^4-6x^2+5)\)