Transformation von einer Gleichverteilten Funktion?

Question

Ich habe gegeben das X Gleichverteilt ist auf dem Interval [0,1].

Jetzt soll ich die Dichte und Ferteilungsfunktion von der Zuffalsvariable Y=Wurzel(X) bestimmen.

Wie geht das denn??

Die Dichte der Gleichverteilung lautet doch f(x)=1/(b-a). Wo ist denn das x von dem ich aus die Transformationsformel verwende??

Answer 1

F_Y(x) = P(Y < x) = P(√X < x) = P(|X| < x²) = P(-x² < X < x²) = F_X (x²) - F_X (-x²)

Wegen \(F_X(x)=\begin{cases}0&x < 0\\x&0\leq x \leq 1\\1&x>1\end{cases}\) ist \(F_Y(x)=\begin{cases}0&x < 0\\x^2&0\leq x \leq 1\\1&x>1\end{cases}\) und somit

        \(f_Y(x) = F'_Y(x) = \begin{cases}2x&0\leq x \leq 1\\0&\text{sonst}\end{cases}\).

Comments

Es ist Y=√X, also ist die Umkehrfunktion Y^2=X,

Sollte es dann nicht Fy=Y^2 und fy=2*Y sein??

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Ich weiß nicht, was du mit Fy=Y² meinst.

Links vom Gleichheitszeichen steht eine Verteilungsfunktion,  rechts eine quadrierte Zufallsgröße. Das sind so unterschiedliche Konzepte, dass ein Gleichheitszeichen zwischen diesen beiden eher unangebracht ist.

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Ich brauche die Dichte und Ferteilungsfunktion der Zufalsvariable Y. Sie haben da geschrieben:

        0   , x<1                                  0, x<1

Fy =x^2, 0<x<1  sollte es nicht     y^2, 0<y<1  sein, weil

        1  , 1<x                                    1, 1<x

die gegebene ZV y = Wurzel(x) ist, also ist y^2=x.

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Welchen Buchstaben du für die unabhängige Variable einer Funktionsgleichung verwendest, ist egal. Die Variable hat nur innerhalb der Funktionsgleichung eine Bedeutung. Für die Funktion mit der Funktionsgleichung

        s(t) = -5t² +20t + 2

gilt zum Beispiel auch, dass

        s(x) = -5x² +20x + 2

und

        s(y) = -5y² +20y + 2

ist.