Transformation einer Zufallsvariable mit alternierendem Teil

Question

Aufgabe: Sei \(\displaystyle X\sim\text{Geom}(p)\). Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariable \(\displaystyle Y=\frac X2(1-(-1)^X)\) und deren Erwartungswert \(\displaystyle\mathbb{E}X\).

Ansatz: Zuerst scheint es sinnvoll, eine Fallunterscheidung für X gerade bzw. ungerade zu machen.

Für X gerade folgt Y=0 und für X ungerade Y=X.

Wäre dies die Verteilung von Y, dann müsste gelten \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(Y=i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}(X=2i-1)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i-1}(1-p)=1\). Dies gilt nicht und daher ist die Verteilung falsch.

Wo liegt der Fehler? Ist Y=0 mit einzubeziehen? Falls ja, wie ist das machbar?

Answer 1

Für die geometrische Verteilung gibt es zwei übliche Varianten, ich gehe jetzt mal davon aus, dass \(P(X=n)=p\cdot(1-p)^{n-1}\) gemeint ist, welche über der Menge \(\mathbb{N}\) (also ohne Null) definiert ist. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist dann \(F_X(n)=1-(1-p)^n\).

Welche Werte \(Y\) annehmen kann, hast du mit deiner Fallunterscheidung ja eigentlich schon erkannt.

Bei deiner Probe hast du also erstmal die Exponenten vertauscht, aber natürlich muss auch der Fall \(Y=0\) berücksichtigt werden (eingentlich ist das der einzige interessante Fall). Eine Probe ist aber eigentlich nicht nötig, wenn du dir klarmachst, dass die Whk. für ungerade Werte von \(Y\) unveränder zu denen von \(X\) sind und die Whk. für gerade Werte von \(X\) alle in der Whk. von \(Y=0\) "komprimiert" werden:

$$\begin{aligned} P(Y=0)&=\sum_{n=1}^{\infty}{P(X=2n)}\quad = \quad\sum_{n=1}^{\infty}{p\cdot(1-p)^{2n-1}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}{p\cdot(1-p)^{2n-1}}-\frac{p}{1-p}\\ &=\frac{p}{1-p}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}{\left((1-p)^2\right)^n}-\frac{p}{1-p}\\[10px] &=\frac{p}{1-p}\cdot\frac{1}{1-(1-p)^2}-\frac{p}{1-p}\\[10px] &=\frac{p}{(1-p)\cdot p \cdot (2-p)}-\frac{p}{1-p}\\[10px] &=\frac{p-2p^2+p^3}{(1-p)\cdot p \cdot (2-p)}\quad=\quad\frac{p\cdot(p-1)^2}{(p-1)\cdot p \cdot (p-2)}\\[10px] &=\frac{p-1}{p-2} \quad = \quad 1+\frac{1}{p-2} \end{aligned}$$

Für die restlichen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich (für \(n\in\mathbb{N}\)):

$$\begin{aligned} &P(Y=1)&&=P(X=1)&&=p\\ &P(Y=2)&& &&=0\\ &P(Y=3)&&=P(X=3)&&=p\cdot(1-p)^2\\ &P(Y=4)&& &&=0\\ &P(Y=2n-1)&&=P(X=2n-1)&&=p\cdot(1-p)^{2n-2}\\ &P(Y=2n)&& &&=0 \end{aligned}$$

Für den Erwartungswert ergibt sich demnach:

$$E(Y)=\sum_{n=1}^{\infty}{(2n-1)\cdot p\cdot(1-p)^{2n-2}}$$

Das lässt sich bestimmt auch vereinfachen oder aus dem Erwartungswert von \(X\) mit Hilfe der Eigenschaften des Erwartungswertes berechnen...

Comments

Danke, ich wusste nur nicht, wie Y=0 einzubeziehen ist.

Die Exponenten habe ich absichtlich so geschrieben, da bei uns die geometrische Verteilung mit

\(\displaystyle\mathbb P(X=i)=p^{i-1}(1-p)\quad,i\in\mathbb N\) gegeben ist.

Für diesen Fall ergibt sich dann

\(\displaystyle\mathbb P(Y=0)=\mathbb P(X=2i)=\sum\limits_{i=1}^{\infty}(1-p)p^{2i-1}=\frac{1-p}p\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i}=\frac{1-p}p\frac{p^2}{1-p^2}=\frac p{1+p}\)

\(\displaystyle\mathbb P(Y=2i-1)=\mathbb P(X=2i-1)=(1-p)p^{2i-2}\)

\(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mathbb P(Y=2i-1)=(1-p)p^{-2}\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i}=\frac{1-p}p\frac{p^2}{1-p^2}=\frac1{1+p}\)

\(\displaystyle\mathbb EY=0\cdot\mathbb P(Y=0)+\sum\limits_{i=1}^{\infty}(2i-1)(1-p)p^{2i-2}=(1-p)\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}p^{2i-1}\)

\(\displaystyle=(1-p)\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}\sum\limits_{i=1}^{\infty}p^{2i-1}=(1-p)\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}\left(p^{-1}\frac{p^2}{1-p^2}\right)=(1-p)\frac{(1-p^2)-2p^2}{(1-p^2)^2}\)

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Sieht gut aus, jetzt klappt ja auch die Probe:

$$\sum_{i=0}^{\infty}P(Y=i) = P(Y=0) + \sum_{i=1}^{\infty}P(Y=2i)  \\ = \frac{p}{1+p} + \frac{1}{1+p}=1$$

Außer für die Probe zur Kontrolle hättest du die zweite Summe aber glaube ich nicht wirklich zu berechnen brauchen.

Beim letzten Schritt ist in der Ableitung ein Fehler, da sollte es \(+2p^2\) statt \(-2p^2\) lauten und dann lässt sich der Term mit der dritten bin. Formel noch kürzen zu

$$E(Y)=\frac{1+p^2}{(1-p)(1+p)^2}$$

Welche Regel hast du da für die Berechnung der Summe mittels Ableitung benutzt? Kommt mir unbekannt vor, würde ich gerne mal nachlesen :)

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Immer diese Vorzeichen... ^^

Das mit der Ableitung hatten wir so auch nur in der Vorlesung gemacht. Daher weiß ich nicht, wie die Regel heißt. Bei dem Erwartungswert und der Varianz der geometrischen Reihe wird dieser "Trick" auch angewandt.