Normalverteilung: Aufgabe mit Flaschen

Question

Hallo es handelt sich um eine Normalverteilungsaufgabe. Ich schreibe demnächst eine Klausur und mir fehlt jeglicher Ansatz.

Bzw. einen Ansatz habe ich bei der berechnung des erwartungswertes, da kommt 0,53l bei mir raus, jedoch hapert es ab der Standardabweichung :( Danke schonmal

a) Ein Erfrischungsgetränk wird in Flaschen zu 0,33l; 0,5l und 1l verkauft, und zwar mit folgenden Häufigkeiten:

0,33l=50%;   0,5l=27%;    1,0l=23%

Ermittle den durchschnittlichen Inhalt einer Flasche und die Standardabweichung.

b) Die Füllmenge pro Flasche unterliegt leichten Schwankungen. So ist z.B. die Menge in einer 0,33l-Flasche normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=330 ml und der Standardabweichung σ=18 ml. Wie viel Prozent enthalten weniger als 300 ml?

c) Angenommen 5% aller Flaschen haben zu wenig Inhalt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 20 Flaschen 1) höchstens eine II) mindestens eine zu wenig Inhalt hat?

d) Wie viele Flaschen muss man kontrollieren, damit mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine mit zu wenig Inhalt dabei ist?

Bin gerade leicht am verzweifeln ^^'

Answer 1

a)
E = 0.33·0.5 + 0.5·0.27 + 1·0.23 = 0.53
σ^2 = 0.33^2·0.5 + 0.5^2·0.27 + 1^2·0.23 - 0.53^2 = 0.07105
σ = √0.07105 = 0.2666

b)
NORMAL((300 - 330)/18) = 0.0478

c)
P = ∑(COMB(20, x)·0.05^x·0.95^{20 - x}, x, 0, 1) = 0.7358
P = 1 - 0.95^20 = 0.6415

d)
1 - (1 - 0.05)^n ≥ 0.9 --> n ≥ 45

Comments

danke erstmal für die Antwort, hätte noch eine Frage: Könntest du vielleicht aufgabe etwas weiter beleuchten? ^^

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Könntest du sagen was du nicht verstehst? Ich habe zu allen Aufgaben wenigstens den Ansatz angegeben wie es zu rechnen ist.

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Also die Lage ist folgende: Diese Aufgabe wird allerhöchstwahrscheinlich in der Prüfung drankommen(Es ist fast 100% sicher). Das Problem ist, dass soweit ich es in erinnerung habe, der Lösungsweg bei C überhaupt nicht im Unterricht behandelt wurde, daher fehlt mir so ziemlich der bezug dazu ^^ wäre es irgendwie möglich die aufgabe unter binomialverteilter ansicht zu lösen?

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Ja. Meine Anätze sind die der Binomialverteilung

P(X <= 1) = F(n, p, k) = F(20, 0.05, 1)

P(X >= 1) = 1 - B(20, 0.05, 0)

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Die sache will einfach nicht in meinen Kopf >.>

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tut mir leid nochmal der nachfrage (ist die letze frage :D), aber könntest du bitte die aufgabe d nochmal beleuchten? wäre eine große hilfe, da es mir primär darum geht zu verstehen was wo warum gemacht wird. dankes

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d) Wie viele Flaschen muss man kontrollieren, damit mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine mit zu wenig Inhalt dabei ist?

0.05 ist die WK das eine Flasche zu wenig Inhalt hat.

1 - 0.05 ist die Wahrscheinlichkeit das die Füllmenge erreicht wurde.

(1 - 0.05)^n ist die Wahrscheinlichkeit das bei n Flaschen die Füllmenge erreicht wurde.

1 - (1 - 0.05)^n ist die Wahrscheinlichkeit das bei n Flaschen die Füllmenge bei mind. einer nicht erreicht wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit soll bei mind. 90% liegen.

1 - (1 - 0.05)^n ≥ 0.9

Dieses ist von der Struktur her der allgemeine Ansatz für mind. 3 mal mind. Aufgaben.

Answer 2

zu a)

0,5 ⋅ 0,33l + 0,27 ⋅ 0,5l + 0,23 ⋅ 1l = 0,53l