Geradengleichung oder Ebenengleichung

Question

Eine Gleichung wie z.B. 

4x + 6y - 24 = 0

Beschreibt ja eine Gerade in der xy-Ebene.

Ausserdem beschreibt eine Gleichung wie z.B.

4x + 6y + 12z - 24 = 0

eine Gerade im 3dimensionalen Raum.

Warum stimmt diese Aussage nicht?

Answer 1

4x + 6y + 12z - 24 = 0

beschreibt eine Ebene im R^3 . 

Du hast 3 Variablen und eine Gleichung, daher ergeben sich 2 Freiheitsgrade. Eine Gerade besitzt aber immer nur einen Freiheitsgrad.

Answer 2

Warum beschreibt die Koordinatengleichung 4x+6y+12z-24=0 keine Gerade im Raum?

Wäre es so, dann müsste das Dreieck mit den Eckpunkten (6|0|0), (0|4|0) und (0|0|2) auf der Geraden liegen. Prüfe mal nach, ob das so ist oder nicht, und wie das zu verallgemeinern ist.

Answer 3

  Schau dir mal in Wiki den Begriff der ===>  impliziten Funktion an.  In der Ebene auf dem Millimeterpapier gibt es Abszisse x und Ordinate y . Wenn du aber eine Gleichung hast

      F  (  x  ;  y  )  =  0      (  1a  )

     dann kannst du die nach y umstellen; das gäbe dann

      y  =  f  (  x  )      (  1b  )

    also eine Kurve auf dem Millimeterpapier.  Nun hast du eine implizite Funktion in drei Veränderlichen

           F  (  x  ;  y  ;  z  )  =  0            (  2a  )


      Wenn ich das nach z auflöse, gibt das sowas:

     z  =  f  (  x  ;  y  )            (  2b  )

    Veranschaulichung;  für jeden Punkt der horizontalen  ( x | y ) Ebene kannst du eine ( vertikale )  Höhe z angeben. Das gibt quasi ein Gebirge, das du mit dem Plotter z.B. in verdeckten Kanten rausmalen kannst; Wolfram z.B. macht ja ganz typisch sowas. Und ich hab auch mal mein Geld damit verdient.